Если длинный идеально проводящий тонкостенный цилиндр раскрутить вокруг своей оси, то внутри цилиндра возникает магнитное поле. Найдите его индукцию, если угловая скорость цилиндра \(\omega\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Канонический импульс электрона (заряд \(-e\))
\[ \mathbf{p}=m_e\mathbf{v}-e\mathbf{A}. \]В сверхпроводнике / идеальном проводнике, который раскрутили из состояния «всё покоилось, поля не было», \(\mathbf{p}=0\) вдоль контура в металле:
\[ m_e v=e A. \]На поверхности цилиндра \(v=\omega r\). Векторный потенциал однородного поля \(B\) внутри длинного цилиндра на его стенке равен \(A=Br/2\) (вдоль окружности). Поэтому
\[ m_e\omega r=e\cdot\frac{Br}{2}\qquad\Longrightarrow\qquad B=\frac{2m_e\omega}{e}. \]Поле направлено вдоль оси, по правилу правого винта относительно \(\boldsymbol{\omega}\) (с учётом знака заряда электрона — против вращения цилиндра, если смотреть по \(\boldsymbol{\omega}\): электроны отрицательны и, отставая, дают ток, сонаправленный с \(\boldsymbol{\omega}\)).
Тот же ответ вылезает из задачи 11.5.27, если внешнего поля нет, а \(v=\omega r\) задано жёстко решёткой.