Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.5. Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле

Савченко, задача 11.5.3

Задача 11.5.3два кольца совмещают

Условие

Во сколько раз изменится ток в двух удалённых друг от друга тонких сверхпроводящих кольцах с однонаправленным током при их совмещении?

₀ I₀ совместить I взаимная индукция: M = L при полном совпадении

К задаче 11.5.3. Два одинаковых сверхпроводящих кольца накладывают друг на друга.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея У каждого кольца вморожен свой поток. Пока кольца далеко, поток — это только \(LI_0\). Когда их наложили, каждое чувствует ещё и поле соседа: взаимная индуктивность становится равной собственной, \(M=L\).

Пусть кольца одинаковы, индуктивность каждого \(L\), начальный ток \(I_0\), токи сонаправлены. На большом расстоянии взаимная индуктивность \(M\approx0\), и поток через каждое кольцо

\[ \Phi=LI_0. \]

После совмещения кольца занимают одну и ту же геометрию, поэтому \(M=L\): весь поток одного кольца целиком пронизывает другое. Если новые токи равны \(I_1\) и \(I_2\), потоки

\[ \Phi_1=LI_1+MI_2=L(I_1+I_2),\qquad\Phi_2=L(I_2+I_1). \]

Но поток каждого кольца сохранился:

\[ L(I_1+I_2)=LI_0\qquad\Longrightarrow\qquad I_1+I_2=I_0. \]

По симметрии (кольца одинаковы, токи были равны и однонаправленны) \(I_1=I_2=I\), откуда

\[ I=\frac{I_0}{2}. \]

Ток в каждом кольце уменьшится в два раза. Суммарный ток двух совмещённых витков остался \(I_0\), поэтому поле «двойного» кольца такое же, как было у одного далёкого.

Проверка. Если токи были встречными, после совмещения вышло бы \(I_1=-I_2\) и \(I_1+I_2=I_0\) не смогло бы выполниться при сохранении обоих потоков \(+LI_0\) и \(-LI_0\) — на самом деле для встречных токов \(\Phi_1=LI_0\), \(\Phi_2=-LI_0\), и решение \(I_1=I_0\), \(I_2=-I_0\): токи не меняются (поля вычитаются, взаимный поток компенсирует сам себя). Для однонаправленных — именно деление пополам.

ОтветУменьшится в два раза.

Следующая задача 11.5.4 →