Когда в короткозамкнутый сверхпроводящий длинный соленоид с током вставили сверхпроводящий стержень, ток в соленоиде увеличился в три раза. Определите, во сколько раз сечение соленоида больше сечения стержня.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть сечение соленоида \(S\), сечение стержня \(\sigma\). До введения стержня поле в длинном соленоиде однородно, \(B_0=\mu_0 n I_0\), поток через один виток
\[ \Phi=B_0 S=\mu_0 n I_0 S. \]Стержень вытесняет поле из своего объёма. После введения поле живёт только в зазоре площади \(S-\sigma\); ток стал \(I\), поле \(B=\mu_0 n I\), поток через виток
\[ \Phi'=B(S-\sigma)=\mu_0 n I\,(S-\sigma). \]Поток сохранился, \(\Phi'=\Phi\):
\[ I(S-\sigma)=I_0 S\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{I}{I_0}=\frac{S}{S-\sigma}. \]По условию ток вырос втрое, \(I/I_0=3\):
\[ \frac{S}{S-\sigma}=3\qquad\Longrightarrow\qquad S=3S-3\sigma\qquad\Longrightarrow\qquad 2S=3\sigma\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{S}{\sigma}=\frac{3}{2}. \]Сечение соленоида больше сечения стержня в полтора раза. Зазор занимает треть площади, и чтобы прогнать прежний поток через уменьшенную площадь, поле (а с ним и ток) должно вырасти втрое.