Савченко · Глава 11. Электромагнитная индукция · § 11.5. Сохранение магнитного потока. Сверхпроводники в магнитном поле

Савченко, задача 11.5.7

Задача 11.5.7кольцо вносят в поле

Условие

Сверхпроводящее кольцо индуктивности \(L\), в котором течёт ток \(I_0\), вносят в однородное магнитное поле индукции \(B_0\). Найдите ток, который будет протекать по кольцу. Нормаль к плоскости кольца составляет с направлением поля угол \(\alpha\); радиус кольца \(r\).

₀ α I радиус r, индуктивность L

К задаче 11.5.7. Внешний поток \(\pi r^2 B_0\cos\alpha\) вычитается из \(LI_0\); \(\mathbf n\) — нормаль к плоскости кольца.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Полный поток через сверхпроводящее кольцо — сумма собственного \(LI\) и внешнего \(B_0 S\cos\alpha\) — заморожен и равен начальному \(LI_0\).

До внесения в поле внешний поток нулевой, полный поток равен собственному:

\[ \Phi=LI_0. \]

В поле \(B_0\) через площадь кольца \(S=\pi r^2\) проходит внешний поток \(B_0 S\cos\alpha=\pi r^2 B_0\cos\alpha\) (берём составляющую вдоль нормали). Собственный поток теперь \(LI\). Сумма та же:

\[ LI+\pi r^2 B_0\cos\alpha=LI_0, \] \[ I=I_0-\frac{\pi r^2}{L}B_0\cos\alpha. \]

Знак прозрачен: если поле смотрит вдоль прежнего тока (\(\alpha=0\)), внешний поток положителен и ток должен уменьшиться, чтобы суммарный поток не вырос. При \(\alpha=90^\circ\) внешний поток нулевой — ток не меняется. При \(\alpha>90^\circ\) косинус отрицателен, ток вырастет.

Проверка. Размерность: \(\pi r^2 B/L\) имеет размерность тока, потому что \(L\sim\Phi/I\sim B\cdot\text{м}^2/\text{А}\). Если кольцо очень «большое» (велика площадь при скромной \(L\)), добавка может превысить \(I_0\) и ток переменит знак — кольцо «перемагнитится». Это не запрещено: сверхпроводник помнит только поток, а не направление тока.

Ответ\(I=I_0-(\pi r^2/L)B_0\cos\alpha\).

Следующая задача 11.5.8 →