В постоянном однородном поле индукции \(B\) вокруг своего диаметра, ориентированного перпендикулярно полю, вращается сверхпроводящее кольцо. Индуктивность кольца \(L\), его диаметр \(D\). Определите амплитуду переменного тока в кольце.
К задаче 11.5.8. Поток через кольцо гуляет как \(\cos\omega t\), ток — следом.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Кольцо крутится вокруг диаметра, перпендикулярного \(\mathbf{B}\), поэтому угол между нормалью и полем бежит равномерно. Поток \(\Phi_{\text{внеш}}=BS\cos\omega t\) меняется, а полный поток заморожен — ток вынужден качаться в противофазе.
Площадь кольца \(S=\pi D^2/4\). В момент, когда нормаль составляет угол \(\theta=\omega t\) с полем,
\[ \Phi_{\text{внеш}}=B S\cos\theta=\frac{\pi D^2}{4}B\cos\omega t. \]
Полный поток \(\Phi=LI+\Phi_{\text{внеш}}\) постоянен. Удобно выбрать константу равной нулю: кольцо сверхпроводящее «с нуля» (или мы смотрим переменную часть тока; постоянная составляющая на амплитуду не влияет). Тогда
\[ I=-\frac{\Phi_{\text{внеш}}}{L}=-\frac{\pi D^2 B}{4L}\cos\omega t. \]
Амплитуда переменного тока
\[ I_0=\frac{\pi D^2 B}{4L}. \]
Это тот же результат, что в задаче 11.5.7, только \(\cos\alpha\) теперь бегает со временем от \(-1\) до \(+1\).
Проверка. Размерность: \(D^2 B/L\sim\text{м}^2\cdot\text{Тл}/(\text{Гн})=\text{Вб}/\text{Гн}=\text{А}\). При \(B=0\) тока нет. Если крутить вокруг диаметра, параллельного полю, поток не менялся бы вовсе — и переменного тока не было бы. Здесь диаметр специально поставлен поперёк \(\mathbf{B}\), чтобы поток гулял с полной амплитудой \(BS\).