а. Напряжённость электрического поля внутри круглого плоского конденсатора, заполненного веществом с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\), линейно растёт со временем: \(E=\alpha t\). Определите индукцию магнитного поля внутри конденсатора на расстоянии \(r\) от его центра.
б. Напряжение на обкладках плоского конденсатора линейно растёт со временем: \(V=\alpha t\). Радиус обкладок \(r_0\), расстояние между ними \(h\). По оси конденсатора вставлен диэлектрический цилиндр радиуса \(r\) с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\). Определите индукцию магнитного поля на боковой поверхности цилиндра и на краю конденсатора.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Вакуумный ток смещения плотности \(j_{d0}=\varepsilon_0\alpha\) даёт
\[ B_1=\frac{\mu_0\varepsilon_0\alpha r}{2}. \]Поляризация \(P=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E\) растёт вместе с \(E\); ток поляризации \(j_p=\Delta P/\Delta t=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\alpha=(\varepsilon-1)j_{d0}\). Он усиливает поле ещё в \(\varepsilon-1\) раз:
\[ B_2=(\varepsilon-1)B_1,\qquad B=B_1+B_2=\varepsilon B_1=\frac{\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\alpha r}{2}. \]То же одной строкой: \(j_{\text{полн}}=\varepsilon\varepsilon_0\alpha\), \(2\pi r B=\mu_0\cdot\pi r^2\cdot\varepsilon\varepsilon_0\alpha\).
б. Теперь \(E=V/h=\alpha t/h\) всюду в зазоре (длинный цилиндр, краевыми эффектами пренебрегаем; в диэлектрике \(D=\varepsilon\varepsilon_0 E\), но \(E\) задано напряжением). На поверхности цилиндра, \(x=r\), внутрь окружности попадает только ток через диэлектрик:
\[ B_1\cdot 2\pi r=\mu_0\cdot\pi r^2\cdot\varepsilon\varepsilon_0\frac{\alpha}{h},\qquad B_1=\frac{\mu_0\varepsilon\varepsilon_0\alpha r}{2h}. \]На краю конденсатора, \(x=r_0\), добавляется ток через воздушное кольцо \(r<\rho<r_0\):
\[ I_{\text{полн}}=\pi r^2\cdot\varepsilon\varepsilon_0\frac{\alpha}{h}+\pi(r_0^2-r^2)\varepsilon_0\frac{\alpha}{h} =\pi\varepsilon_0\frac{\alpha}{h}\bigl[r^2(\varepsilon-1)+r_0^2\bigr], \] \[ B_2=\frac{\mu_0 I_{\text{полн}}}{2\pi r_0}=\frac{\mu_0\varepsilon_0\alpha}{2hr_0}\bigl[r^2(\varepsilon-1)+r_0^2\bigr]. \]