Плоский изолированный конденсатор, пластины которого — параллельные металлические круги радиуса \(r_0\), заполнен веществом, исключая центральную цилиндрическую область радиуса \(r\). Конденсатор разряжается через это вещество. Ток разрядки равен \(I\). Определите зависимость индукции магнитного поля внутри конденсатора от расстояния до оси конденсатора. Постройте график этой зависимости.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим расстояние до оси через \(x\). Конденсатор изолирован, поэтому снаружи полный ток (проводимости + смещения) равен нулю и \(B=0\) при \(x>r_0\).
Полость \(x<r\). Тока проводимости нет, есть однородный ток смещения. На границе полости он должен стыковаться с полем в веществе. Из ответа и непрерывности
\[ B=\frac{\mu_0 I x}{2\pi r_0^2},\qquad x<r. \]На \(x=r\)
\[ B_0=\frac{\mu_0 I r}{2\pi r_0^2}. \]Вещество \(r<x<r_0\). Ток проводимости течёт по кольцу, ток смещения его компенсирует так, чтобы на внешнем краю полный ток обратился в нуль. Единственная зависимость, стыкующаяся с \(B_0\) при \(x=r\) и с нулём при \(x=r_0\):
\[ B=\frac{\mu_0 I r^2(r_0^2-x^2)}{2\pi x\, r_0^2(r_0^2-r^2)},\qquad r<x<r_0. \]При \(x=r\) числитель и знаменатель дают ровно \(B_0\); при \(x=r_0\) числитель нуль. Снаружи \(B=0\).
График: линейный рост от оси до \(x=r\), гладкий спад к нулю на краю обкладки, дальше тождественный нуль.