а. Плоский конденсатор движется со скоростью \(v\), как показано на рисунке. Напряжённость электрического поля между пластинами \(E\). Определите скорость изменения потока электрического поля через прямоугольный контур \(abcd\) и циркуляцию индукции магнитного поля по этому контуру. Как связаны друг с другом искомые величины в СИ? в СГС?
б. Приведите примеры, подтверждающие пропорциональность циркуляции индукции магнитного поля по контуру скорости изменения потока электрического поля через поверхность, ограниченную этим контуром.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Пусть сторона контура, параллельная скорости, имеет «высоту» (расстояние между пластинами в проекции) , а поперечный размер, на который поле надвигается, равен \(l\) — длине стороны \(ad\) (вдоль пластин, поперёк \(v\)). За время \(dt\) в контур въезжает полоска площади \(v\,dt\cdot l\), неся поле \(E\). Приращение потока электрического поля
\[ dN=E\cdot l\cdot v\,dt\qquad\Longrightarrow\qquad\frac{dN}{dt}=vlE. \]По задаче 11.6.1 циркуляция
\[ C_B=\mu_0\varepsilon_0\frac{dN}{dt}=\mu_0\varepsilon_0 vlE\quad\text{(СИ)},\qquad C_B=\frac1c\frac{dN}{dt}\quad\text{(СГС)}. \]Связь в СИ: \(C_B=\mu_0\varepsilon_0\,dN/dt\); в СГС: \(C_B=(1/c)\,dN/dt\).
Тот же \(C_B\) можно получить иначе: движущиеся заряженные пластины — это токи с линейной плотностью \(\sigma v=\varepsilon_0 E v\), и теорема о циркуляции вокруг контура, который «протыкает» эти токи, даёт \(\mu_0\cdot\varepsilon_0 E v\cdot l\).
б. Примеры. (1) Разряд плоского конденсатора: между обкладками \(dN/dt=I/\varepsilon_0\), и \(C_B=\mu_0 I\) — ровно как от тока в проводе. (2) Электромагнитная волна: через контур «проплывает» гребень \(E\), \(dN/dt\neq0\), и появляется \(B=E/c\). (3) Движущаяся заряженная пластина — частный случай пункта «а».