Плоский конденсатор, напряжённость электрического поля внутри которого \(E\), движется со скоростью \(v\). Скорость образует угол \(\alpha\) с пластинами. Какова индукция магнитного поля внутри конденсатора?
К задаче 11.6.7. Магнитное поле даёт только составляющая скорости вдоль пластин.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Движущиеся заряженные пластины — поверхностные токи. Работать будет только скорость, параллельная пластинам: именно она гонит заряд вдоль обкладки. Нормальная составляющая просто перевозит конденсатор «плашмя» и тока не даёт.
Поверхностная плотность заряда \(\sigma=\varepsilon_0 E\). Касательная скорость \(v_\parallel=v\cos\alpha\), поверхностный ток
\[ i=\sigma v_\parallel=\varepsilon_0 E v\cos\alpha. \]
Две пластины несут противоположные заряды и едут вместе, поэтому их токи противоположны: между пластинами поля складываются, снаружи гасятся. Поле одного слоя \(B=\mu_0 i/2\), двух —
\[ B=\mu_0 i=\mu_0\varepsilon_0 Ev\cos\alpha. \]
Тот же ответ даёт преобразование полей: в системе конденсатора есть только \(\mathbf{E}\), в лабораторной появляется \(\mathbf{B}=\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2\), модуль \(\mu_0\varepsilon_0 v_\parallel E\).
Проверка. При \(\alpha=90^\circ\) (летим перпендикулярно пластинам) \(B=0\): заряды не текут вдоль обкладок. При \(\alpha=0\) получаем \(B=Ev/c^2\) — стандартная связь для конденсатора, скользящего вдоль себя. При \(v\ll c\) поле слабое, как и должно быть.