При движении параллельно поверхности металла равномерно заряженной пластины со скоростью \(v\) возникает магнитное поле индукции \(B\). Определите поверхностную плотность заряда пластины.
К задаче 11.6.8. Пластина и её электростатическое изображение дают удвоенный ток над металлом.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Решение
Идея
Металл эквипотенциален: над ним поле такое, как от пластины и её зеркального изображения противоположного знака. Движущиеся \(\sigma\) и \(-\sigma\) — два противоположных поверхностных тока, между ними \(B=\mu_0\sigma v\).
Одна пластина с поверхностным током \(i=\sigma v\) даёт \(B_0=\mu_0 i/2=\mu_0\sigma v/2\) по обе стороны. Изображение несёт ток \(-\sigma v\) (заряд противоположный, скорость та же). Между пластиной и металлом поля складываются:
\[ B=\mu_0\sigma v. \]
Отсюда
\[ \sigma=\frac{B}{\mu_0 v}. \]
Над пластиной поля вычитаются и (в приближении бесконечных листов) гасятся. Измеренное \(B\) — это как раз поле в зазоре.
Проверка. Размерность: \(\text{Тл}/((\text{Гн/м})\cdot\text{м/с})=\text{Кл/м}^2\). При \(v=0\) поля \(B\) нет, \(\sigma\) из этой формулы не извлечь — правильно, задача именно про движение. Если металла нет, было бы \(\sigma=2B/(\mu_0 v)\): металл удваивает поле в зазоре.