Внутри плоского конденсатора параллельно его обкладкам движется со скоростью \(v\) проводящая пластина, толщина которой равна половине расстояния между обкладками конденсатора. На обкладках конденсатора поддерживается напряжение \(V\), расстояние между ними \(h\).
а. Чему равна индукция магнитного поля внутри проводника? между движущимся проводником и обкладками конденсатора?
б. Как изменится индукция магнитного поля в пластине, если проводник заменить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Напряжение \(V\) поддерживается на обкладках, поэтому характерное поле в конденсаторе \(E=V/h\). На гранях проводящей пластины сидят индуцированные заряды плотности порядка \(\sigma=\varepsilon_0 V/h\); пластина нейтральна, заряды противоположны. Оба едут со скоростью \(v\), токи направлены навстречу друг другу.
Такая пара токов даёт между гранями (внутри проводника) поле
\[ B=\mu_0\sigma v=\mu_0\varepsilon_0\frac{V}{h}v, \]а в зазорах — поле того же модуля и противоположного знака. Знак минус не формальность: большой контур, охватывающий всю нейтральную пластину, пронизан нулевым полным током, поэтому циркуляция снаружи обязана компенсировать внутреннюю.
\[ B_{\text{внутри}}=\mu_0\varepsilon_0\frac{vV}{h},\qquad B_{\text{зазор}}=-\mu_0\varepsilon_0\frac{vV}{h}. \]б. В диэлектрике вместо свободного индуцированного заряда — поляризационный \(\sigma_p=\varepsilon_0(\varepsilon-1)E\). Поле в пластине толщины \(h/2\)
\[ E=\frac{V}{h/2+\varepsilon\cdot h/2}=\frac{2V}{h(\varepsilon+1)},\qquad \sigma_p=\varepsilon_0(\varepsilon-1)\frac{2V}{h(\varepsilon+1)}. \]Сравнивая с проводником (предел \(\varepsilon\to\infty\), \(\sigma\to\varepsilon_0 V/h\)), получаем отношение токов и полей
\[ \frac{B_{\text{пр}}}{B_{\varepsilon}}=\frac{\varepsilon+1}{\varepsilon-1}. \]Индукция в пластине уменьшится в \((\varepsilon+1)/(\varepsilon-1)\) раз. При \(\varepsilon\to\infty\) отношение стремится к единице — диэлектрик становится проводником, как и должно быть. При \(\varepsilon=1\) поляризации нет, \(B=0\).