а. Однородное электрическое поле напряжённости \(E\) занимает пространство между бесконечными плоскостями \(AB\) и \(A'B'\), расстояние между которыми \(d\). Это поле образовалось при наложении двух плоских электромагнитных волн. Определите эти волны, если напряжённость электрического поля \(E\) параллельна плоскостям.
б. На какие электромагнитные волны можно разложить магнитное поле индукции \(B\), сосредоточенное между плоскостями \(AB\) и \(A'B'\)? Индукция магнитного поля \(B\) параллельна плоскостям.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Две плоские волны бегут навстречу, перпендикулярно плоскостям. В каждой \(E_1=E_2=E/2\), магнитные поля противоположны и в сумме нуль. Длина каждой волны (толщина импульса) равна \(d\): именно такой толщины слой поля. Через время \(d/(2c)\) волны разъедутся, в середине останется «дырка», по краям убегут два импульса.
б. Чистый слой \(B\) без \(E\) — те же две волны, но \(E\) в них противоположны, а \(B\) сонаправлены. В каждой волне \(B_1=B_2=B/2\), электрическое поле \(E_1=cB/2\). Направление распространения снова перпендикулярно плоскостям, навстречу друг другу.
Разложение однозначно: плоский слой чистого \(\mathbf{E}\) без \(\mathbf{B}\) есть сумма двух встречных волн с полями \(E/2\) и \(B=\pm(E/2)/c\). Вектор Пойнтинга каждой волны \(\mathbf{S}=\pm\varepsilon_0 c(E/2)^2\), в сумме ноль — энергия стоит, никуда не течёт. Это и есть «электростатический» кусок поля, запертый между плоскостями. Слой чистого \(\mathbf{B}\) — те же волны, только \(E\) у них противоположны, а \(B\) сонаправлены.
Предел \(d\to0\): слой исчезает, волн нет. Если поверх слоя пустить ещё одну бегущую волну, она свободно пройдёт насквозь — линейность суперпозиции. На металле (\(\sigma\to\infty\)) чистого \(E_\tau\) у поверхности быть не может, зато удвоенный \(B\) — пожалуйста: это как раз «б» в момент, когда отражённая волна ещё не успела уехать. Интенсивность каждой половинки \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0(E/2)^2=c\varepsilon_0 E^2/8\).