Вокруг движущегося заряженного тела возникает магнитное поле, а вокруг неподвижного — нет. Поэтому при мгновенной остановке двигавшегося тела магнитное поле станет «лишним». Оно превращается в электромагнитные волны.
а. Если заряженный конденсатор движется со скоростью \(v\) параллельно своим пластинам, то \(B=(v/c^2)E\). При мгновенной остановке это магнитное поле — сумма двух электромагнитных волн с индукцией \(B/2\), движущихся в противоположных направлениях перпендикулярно пластинам. Определите напряжённость электрического поля в каждой волне.
б. Какова энергия волны, испущенной зарядом \(Q\), равномерно распределённым по движущейся сфере радиуса \(r\), при её мгновенной остановке? Скорость сферы до остановки \(v\).
в. Напряжение, приложенное к двум проводам, повышали до пробоя; возникли колебания тока и электромагнитные волны. Оцените, во сколько раз должна увеличиться мощность волн, если напряжение пробоя увеличить в два раза.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. \(B=vE/c^2\), в каждой волне индукция \(B/2\), значит
\[ E_{\text{изл}}=c\cdot\frac B2=\frac12\frac v c E. \]б. У движущегося заряда \(B=(v/c)E\sin\theta\) (в СГС). Энергия магнитного поля — это энергия электрического \(Q^2/(2r)\), умноженная на \((v/c)^2\) и ещё на средний \(\langle\sin^2\theta\rangle=2/3\). Итого множитель \((v/c)^2\cdot(2/3)\):
\[ W=\frac{Q^2}{3r}\left(\frac vc\right)^2\quad\text{(СГС)},\qquad W=\frac{Q^2}{12\pi\varepsilon_0 r}\left(\frac vc\right)^2\quad\text{(СИ)}. \]Вся эта энергия уходит в излучение: после остановки стационарного магнитного поля нет.
в. Напряжение пробоя удвоили — заряды и поля удвоились, «лишние» поля удвоились, энергия излучения \(\propto E^2\) выросла в 4 раза. Мощность — тоже в четыре раза (время разряда того же порядка, если геометрия прежняя).
Лишнее \(B=(v/c^2)E\) между пластинами после остановки раскладывается, как в 12.1.11б, на две волны с \(E_{\text{изл}}=c\cdot(B/2)=(v/(2c))E\). Это школьный Лиенар—Вихерт для пластины: излучает ускорение (здесь — резкая остановка), поле пропорционально \(v/c\). Энергия уходит с Пойнтингом \(S=\varepsilon_0 c E_{\text{изл}}^2\propto(v/c)^2 E^2\); проинтегрировав по объёму «блина» толщины порядка размера пластин \(r\), получаем \(W\propto Q^2(v/c)^2/r\).
При \(v\to0\) излучения нет — пластины просто остановились квазистатически. При \(v/c=0{,}1\) уходит один процент «магнитной» энергии конденсатора. Напряжение пробоя удвоили — \(E\) и \(Q\) удвоились, \(W\propto E^2\) выросла вчетверо. Предел \(\sigma\to\infty\) для пластин здесь уже заложен: заряд сидит на поверхности и успевает перестроиться за время остановки, иначе появился бы скин и часть энергии ушла бы в джоулево тепло.