Заряженная пластина, напряжённость электрического поля которой \(E\), двигаясь параллельно самой себе со скоростью \(v\), создаёт магнитное поле индукции \(B=(v/c^2)E\). Поэтому при уменьшении скорости пластины на величину \(dv\) в окружающем её пространстве возникает «лишнее» магнитное «микрополе» индукции \(dB=\pm(dv/c^2)E\). Суммируясь, эти «микрополя» дают электромагнитную волну, напряжённость электрического поля которой зависит лишь от скорости пластины:
\[ E_{\text{изл}}(t,x)=cB_{\text{изл}}(t,x)=\frac{c\,v_{t-x/c}}{c^2}\,E =\frac{v_{t-x/c}}{c}\,E. \]Индекс \(t-x/c\) означает, что при вычислении напряжённости поля на расстоянии \(x\) от пластины значение её скорости нужно брать в момент времени \(t-x/c\). Например, напряжённость электрического поля излучения пластины, скорость которой равна \(v_0\sin\omega t\), на расстоянии \(x\) от пластины в момент времени \(t\) равна \((v_0/c)\sin[\omega(t-x/c)]\,E\), так как скорость пластины в момент времени \(t-x/c\) была равна \(v_0\sin\omega(t-x/c)\). Докажите справедливость формулы \(E_{\text{изл}}(t,x)=(v_{t-x/c}/c)E\) для случая, когда скорость \(v\) меняется так, как изображено на рисунках.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть скорость скачком изменилась на \(dv\) в момент \(\tau\). «Лишнее» \(dB=(dv/c^2)E\) разбегается, как в 12.1.12, двумя волнами, в каждой
\[ dE_{\text{изл}}=c\cdot\frac{dB}{2}=\frac{dv}{c}E. \]Волна, полетевшая в сторону \(+x\), приходит в точку \(x\) в момент \(t=\tau+x/c\). Значит, наблюдаемое поле есть \((v(\tau)/c)E\) с \(\tau=t-x/c\):
\[ E_{\text{изл}}(t,x)=\frac{v_{t-x/c}}{c}E. \]Для гладкого \(v(t)\) складываем ступеньки — интеграл превращается в само значение \(v\) в запаздывающий момент (постоянная составляющая не излучает, излучает лишь изменение; в формуле Савченко \(v\) отсчитывается от конечной/начальной «полки», либо имеется в виду вклад именно переменной части). Прямоугольные и треугольные графики из рисунков — частные случаи: ступенька даёт ступеньку поля, полка — «молчание», линейный участок — линейно растущее \(E_{\text{изл}}\).
Формула \(E_{\text{изл}}(t,x)=(v_{t-x/c}/c)E\) — запаздывающий потенциал пластины. Каждая ступенька \(dv\) рождает прямоугольный импульс Пойнтинга, убегающий со скоростью \(c\); в точке \(x\) они выстраиваются в точности в график \(v(\tau)\). Это одномерный аналог запаздывающих потенциалов Лиенара—Вихерта: роль \(1/r\) играет то, что пластина бесконечна и амплитуда не падает. Интенсивность импульса \(I=\varepsilon_0 c(v/c)^2 E^2\).
Гармоника \(v=v_0\sin\omega t\) даёт обычную плоскую волну с \(\omega\) и \(k=\omega/c\). Постоянная скорость не излучает: «полка» на графике — тишина. Мгновенная остановка \(v_0\to0\) выплёвывает ступеньку \(E_{\text{изл}}=(v_0/c)E\), согласованную с 12.1.12 (там делили на 2, потому что смотрели одну из двух волн с \(B/2\)). Предел \(\omega\to0\) снова гасит излучение: пластина качается слишком лениво.