Используя формулу \(E_{\text{изл}}=(v_{t-x/c}/c)E\) из задачи 12.1.14, решите следующие задачи.
а. Определите напряжённость электрического поля в плоской волне, излучаемой плоским конденсатором при его движении с постоянным ускорением \(a\), направленным параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами \(d\), напряжённость поля внутри конденсатора \(E\).
б. Линейная плотность тока на пластине меняется синусоидально с амплитудой \(i_0\). Определите в СИ и в СГС амплитуду напряжённости электрического поля в волне, излучаемой этой пластиной.
в. Определите коэффициент отражения электромагнитной волны, падающей на тонкую проводящую плёнку перпендикулярно её поверхности. Толщина плёнки \(x\), число электронов проводимости в единице объёма \(n_e\), частота волны \(\nu\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Каждая пластина при скорости \(v=at\) излучает \(E_1=(at_{\text{зап}}/c)E\). Нижняя пластина дальше на \(d\), её сигнал запаздывает на \(d/c\) и противоположен по знаку (заряды противоположны):
\[ E_{\text{изл}}=E_1+E_2=\frac{aE}{2c}\Bigl[\Bigl(t-\frac xc\Bigr)-\Bigl(t-\frac{x+d}c\Bigr)\Bigr]=\frac{adE}{2c^2}. \]Поле постоянно (пока ускорение постоянно) — как у равноускоренного заряда в волновой зоне, только здесь «зона» плоская.
б. Линейная плотность тока \(i=\sigma v\), а \(\sigma=\varepsilon_0 E\) (поле пластины \(E=\sigma/\varepsilon_0\) в СИ? у одной пластины \(E=\sigma/(2\varepsilon_0)\), и это даёт фактор 2). Из \(E_{\text{изл}}=(v/c)E\) и \(i=\sigma v\):
\[ E_{\text{изл}}=\frac{i}{2c\varepsilon_0}=\frac{\mu_0 c i}{2}\qquad\text{(СИ)},\qquad E_{\text{изл}}=\frac{2\pi i}{c}\qquad\text{(СГС)}. \]Для амплитуды \(i_0\) те же формулы с \(i_0\).
в. Электроны в поле \(E_0\sin\omega t\) имеют скорость \(v=(eE_0/(m_e\omega))\cos\omega t\). Плёнка толщины \(x\) несёт линейную плотность тока \(i=n_e e v x\). Подставляем в «б»:
\[ E_{\text{изл}}=\frac{n_e e^2 x E_0}{2c\varepsilon_0 m_e\omega},\qquad k=\left(\frac{E_{\text{изл}}}{E_0}\right)^2=\left[\frac{n_e e^2 x}{4\pi m_e\nu\varepsilon_0 c}\right]^2. \](\(\omega=2\pi\nu\).) Это коэффициент отражения по интенсивности в приближении тонкой плёнки (\(E_{\text{изл}}\ll E_0\)).
Три лица одной формулы. Ускорение \(a\) конденсатора даёт постоянное \(E_{\text{изл}}=adE/(2c^2)\): разность запаздываний \(d/c\) снимает одну производную и оставляет поле, не зависящее от времени, пока \(a=\mathrm{const}\). Ток на пластине \(i=\sigma v\) переписывает то же как \(E_{\text{изл}}=i/(2c\varepsilon_0)=\mu_0 c i/2\) — импеданс вакуума \(Z_0=\mu_0 c\) снова здесь: листовой ток излучает \(E=Z_0 i/2\) в каждую сторону.
Коэффициент отражения тонкой плёнки \(k=(E_{\text{изл}}/E_0)^2\propto(n_e x/\nu)^2\). При \(x\to0\) отражения нет. Когда \(k\sim1\), приближение тонкой плёнки ломается — это выход на полку задачи 12.1.17 и глубина \(\Delta\) из 12.1.18. Для видимого \(\nu\sim5\cdot10^{14}\) Гц и металла \(n_e\sim10^{28}\) м\(^{-3}\) уже \(x\sim10\) нм даёт \(k\sim1\): нанометровая плёнка почти зеркало. Предел \(\sigma\to\infty\) (\(n_e\to\infty\)) — полное отражение при любой толщине.