Савченко, задача 12.1.18

Решение

Из 12.1.15в условие \(E_{\text{изл}}\sim E_0\):

\[ \Delta\approx\frac{4\pi m_e\nu\varepsilon_0 c}{n_e e^2}. \]

Числа. \(n_e=10^{22}\) см\(^{-3}=10^{28}\) м\(^{-3}\), \(\nu=10^{15}\) Гц, \(m_e=9\cdot10^{-31}\) кг, \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\) Кл, \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\), \(c=3\cdot10^8\):

\[ \Delta\approx\frac{4\pi\cdot9\cdot10^{-31}\cdot10^{15}\cdot8{,}85\cdot10^{-12}\cdot3\cdot10^8}{10^{28}\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}\approx10^{-7}\ \text{м}=10^{-5}\ \text{см}. \]

Сто ангстрем — типичный оптический скин-слой хорошего металла.

Это не омический скин-слой \(\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}\) из курса переменного тока. Там электроны успевают тормозить о решётку, здесь частота оптическая, \(\omega\tau\gg1\), и электроны качаются почти без столкновений: работает инерция, плазменная частота, лондоновская глубина. Обе оценки, однако, дают десятки нанометров — поэтому тончайшая серебряная плёнка уже непрозрачна, а фольга «на просвет» зелёная.

Оценка \(\Delta=4\pi m_e\nu\varepsilon_0 c/(n_e e^2)\) — это толщина, на которой тонкая плёнка уже отражает как металл. Плазменная частота \(\omega_p=\sqrt{n_e e^2/(\varepsilon_0 m_e)}\approx1{,}8\cdot10^{16}\) рад/с при \(n_e=10^{28}\) м\(^{-3}\), и лондоновская глубина \(c/\omega_p\approx17\) нм того же порядка, что \(\Delta\approx100\) нм. Омический скин \(\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}\) здесь ни при чём: \(\omega\tau\gg1\), электроны качаются без столкновений.

При \(\nu\to0\) формальная \(\Delta\to0\), но тогда уже работает обычный скин и \(\delta\to\infty\): постоянное поле в толстый металл не входит только из-за электростатики, а низкочастотная волна проникает глубоко. При \(n_e\to\infty\) (\(\sigma\to\infty\)) \(\Delta\to0\), волна вовсе не входит. Частота \(10^{15}\) Гц — красный край видимого / ближний ИК; для микроволн глубина уже микроны и определяется проводимостью, не инерцией.