Савченко, задача 12.1.25

а. \(\mathbf{E}\) параллелен поверхности (s-поляризация). Фиктивная волна имеет \(\mathbf{E}'=-\mathbf{E}\) (чтобы сумма на границе была нуль) и \(\mathbf{B}'=\mathbf{B}\) (чтобы бежать навстречу по нормали и сохранить правую тройку после отражения). Волновой вектор фиктивной волны — зеркальный к падающему: \(k'_n=-k_n\), \(k'_\tau=k_\tau\). Угол с нормалью тот же.

б. \(\mathbf{B}\) параллелен поверхности (p-поляризация). Теперь на металле должен обнулиться \(E_\tau\), что достигается при \(\mathbf{E}'=\mathbf{E}\) в соответствующей проекции (книжный ответ: \(E'=E\)) и перевороте нормальной составляющей. Снова \(k\) зеркален — угол падения равен углу отражения.

Геометрия зеркала не знает поляризации: закон отражения один и тот же. Поляризация влияет только на знаки \(\mathbf{E}\) и \(\mathbf{B}\) в отражённой волне (сдвиг фазы 0 или \(\pi\)).

Фиктивная волна строится зеркальным отражением волнового вектора: \(k'_n=-k_n\), \(k'_\tau=k_\tau\). Угол с нормалью тот же, \(\alpha'=\alpha\). Для \(E_\parallel\) (поляризация в плоскости падения или из неё) знак \(E'\) выбирается так, чтобы на металле сумма касательных была нуль: при \(\sigma\to\infty\) всегда \(E'_\tau=-E_\tau\), а \(B'_\tau=+B_\tau\). Это предельный Френель \(r_s\to-1\), \(r_p\to+1\) в зависимости от того, какой компоненты касается плоскость.

При нормальном падении разницы поляризаций нет: \(r\to-1\), \(E'=-E\), \(B'=B\). При скользящем (\(\alpha\to90^\circ\)) даже у диэлектрика \(r\to-1\) для обеих поляризаций — «ложное зеркало». Предел \(\varepsilon\to1\): фиктивная волна имеет нулевую амплитуду, отражения нет, угол «равен» формально, но волны-то нет. Принцип Ферма даёт ту же геометрию: минимум времени при \(\alpha_{\text{пад}}=\alpha_{\text{отр}}\).