Частота синусоидальной волны, падающей на движущуюся металлическую стенку перпендикулярно её поверхности, при отражении меняется на \(\Delta\). Первоначальная частота волны \(\nu_0\). Определите скорость стенки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Точная формула для нормального отражения от зеркала, едущего навстречу со скоростью \(v\):
\[ \nu=\nu_0\frac{c+v}{c-v}. \]Сдвиг \(\Delta=\nu-\nu_0\):
\[ \nu_0+\Delta=\nu_0\frac{c+v}{c-v},\qquad (\nu_0+\Delta)(c-v)=\nu_0(c+v), \] \[ \nu_0 c+\Delta c-v(\nu_0+\Delta)=\nu_0 c+\nu_0 v, \] \[ \Delta c=v(2\nu_0+\Delta),\qquad v=\frac{c\Delta}{2\nu_0+\Delta}. \]Если стенка убегает, \(\Delta<0\), \(v\) меняет знак.
Двойной Доплер можно рассказать «в две ноги». Стенка принимает волну как движущийся приёмник: \(\nu_1=\nu_0(c+v)/c\). Отразив, она сама становится источником частоты \(\nu_1\), едущим навстречу наблюдателю: \(\nu=\nu_1(c+v)/c=\nu_0(c+v)^2/c^2\). При \(v\ll c\) это \(\nu_0(1+2v/c)\). Точная релятивистская формула заменяет \(c^2\) в знаменателе на \(c^2-v^2\) и даёт \((c+v)/(c-v)\).
Радар измеряет скорость автомобиля именно так: сдвиг \(\Delta/\nu_0=2v/c\). Для \(v=100\) км/ч и \(\nu_0=10\) ГГц сдвиг всего 2 кГц — но его прекрасно слышно на биениях.
Двойной эффект Доплера. Стенка принимает \(\nu_1=\nu_0(c+v)/c\) (источник покоится, приёмник едет навстречу), затем переизлучает как движущийся источник: \(\nu=\nu_1(c+v)/c=\nu_0(c+v)^2/c^2\) в нерелятивистской школе; точно, с аберрацией нормального падения, \(\nu=\nu_0(c+v)/(c-v)\). Отсюда \(\Delta=\nu-\nu_0=2v\nu_0/(c-v)\) и \(v=c\Delta/(2\nu_0+\Delta)\).
Нерелятивистский предел \(v\ll c\): \(\Delta\nu/\nu=2v/c\). Для звука от стены тот же «два веэ на цэ». При \(v=0\) сдвига нет. При \(v\to c\) частота улетает на бесконечность — жёсткое отражение. Числа: зеркало на 15 км/с (метеорит) даёт \(\Delta\nu/\nu=10^{-4}\), для натрия 589 нм это 0,06 нм — уже видно в хорошем спектре. Знак минус, если зеркало убегает: красное смещение.