Амплитуда волны при отражении её от движущейся навстречу металлической стенки увеличилась в \(k\) раз. Определите скорость стенки.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Из \(k=(c+v)/(c-v)\):
\[ k(c-v)=c+v,\qquad kc-c=v+kv,\qquad v=c\frac{k-1}{k+1}. \]При \(k=1\) стенка покоится. При \(k\to\infty\) \(v\to c\).
Откуда берётся рост амплитуды? Зеркало, едущее навстречу, за единицу времени «съедает» больше гребней падающей волны, чем испускает гребней отражённой: частота растёт. Но в электромагнитной волне отношение \(E/B=c\) жёсткое, а плотность энергии \(\propto E^2\). Фотонная картинка говорит то же: каждый отражённый квант унёс энергию \(\hbar\omega'\), частот больше — и поле сильнее. Поэтому амплитуда и частота множатся одним и тем же доплеровским фактором \((c+v)/(c-v)\).
Если стенка убегает (\(v<0\)), \(k<1\): отражённая волна краснеет и слабеет. Предел \(v\to-c\) даёт \(k\to0\) — зеркало почти не отражает, оно уезжает вместе с волной.
Фотоны отражённой волны имеют энергию \(\hbar\omega'\), увеличенную тем же доплеровским фактором \(k_\omega=(c+v)/(c-v)\), что и частота. Число фотонов сохраняется при идеальном отражении, поэтому интенсивность растёт как \(k_\omega^2\), а амплитуда — как \(k_\omega\): \(E'/E=k=(c+v)/(c-v)\). Отсюда \(v=c(k-1)/(k+1)\). Волновое сопротивление то же, \(B'=E'/c\), Пойнтинг отражённой волны \(S'\propto k^2\).
При \(k=1\) зеркало покоится, \(v=0\). При \(k\to\infty\) зеркало почти световое, \(v\to c\). При \(k\to0\) зеркало убегает, амплитуда гаснет. Это согласовано с давлением 12.1.28: работа силы как раз идёт на увеличение энергии волны. Предел \(\sigma<\infty\) добавил бы поглощение, \(k\) стал бы меньше доплеровского идеала, часть энергии ушла бы в тепло скина.