На рисунке изображено электрическое поле плоской синусоидальной волны в нулевой момент времени. Направление распространения волны указано стрелкой. Как зависит напряжённость электрического поля от координаты \(z\) и времени \(t\)?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На снимке \(t=0\) поле — синус с периодом \(\lambda\), начинающийся от нуля в начале координат и растущий в сторону \(+z\):
\[ E(z,0)=E_0\sin\frac{2\pi z}{\lambda}. \]Волна бежит вправо: через время \(t\) в точку \(z\) приходит то значение, которое в нулевой момент сидело в точке \(z-ct\). Поэтому
\[ E(z,t)=E_0\sin\left[\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)\right]. \]Фазовая скорость \(c\): гребень \(\frac{2\pi}{\lambda}(z-ct)=\mathrm{const}\) движется как \(z=ct+\mathrm{const}\).
Запись через волновое число и частоту прозрачнее снимка: \(k=2\pi/\lambda\), \(\omega=ck\), и \(E=E_0\sin(kz-\omega t)\). Фазовая скорость \(\omega/k=c=3\cdot10^8\) м/с. Средняя интенсивность бегущей синусоиды \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\): для \(E_0=1\) В/м это \(1{,}3\) мВт/м², для солнечного света (\(I\approx1{,}4\) кВт/м²) уже \(E_0\approx1\) кВ/м. Вместе с \(E\) бежит \(B=E/c\), и \(\mathbf{S}\) пульсирует как \(\sin^2(kz-\omega t)\).
Предел \(\lambda\to\infty\) (\(k\to0\)) — однородное поле, которое «не успевает» стать волной: профиль плоский, Пойнтинг есть, но гребня нет. Если стрелку на рисунке развернуть, аргумент станет \(kz+\omega t\), и \(\mathbf{S}\) посмотрит в \(-z\). Начальная фаза нуль, потому что на снимке синус проходит через ноль в \(z=0\); сдвиг \(\varphi\) просто добавился бы в скобку.