Две синусоидальные волны с одной поляризацией \(E_1\sin\bigl[\omega(t-z/c)+\varphi_1\bigr]\) и \(E_2\sin\bigl[\omega(t-z/c)+\varphi_2\bigr]\) накладываются друг на друга. Чему равна амплитуда напряжённости электрического поля результирующей волны? Чему равна фаза этой волны?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вынесем общее \(\sin\bigl[\omega(t-z/c)\bigr]\) и \(\cos\bigl[\omega(t-z/c)\bigr]\):
\[ E=A\cos\psi+C\sin\psi, \]где \(\psi=\omega(t-z/c)\),
\[ A=E_1\sin\varphi_1+E_2\sin\varphi_2,\qquad C=E_1\cos\varphi_1+E_2\cos\varphi_2. \]Это одно колебание амплитуды \(E_0=\sqrt{A^2+C^2}\) и фазы \(\varphi=\mathrm{arctg}(A/C)\):
\[ E_0=\sqrt{E_1^2+E_2^2+2E_1E_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)}, \] \[ \varphi=\omega\Bigl(t-\frac zc\Bigr)+\mathrm{arctg}\frac{E_1\sin\varphi_1+E_2\sin\varphi_2}{E_1\cos\varphi_1+E_2\cos\varphi_2}. \]Первая формула — теорема косинусов на фазовой плоскости: угол между векторами равен разности фаз.
Второй путь — векторная диаграмма. Изображаем колебания векторами длины \(E_1\) и \(E_2\) под углами \(\varphi_1\) и \(\varphi_2\) к одной оси и складываем их, как перемещения: длина суммарного вектора и есть \(E_0\), а его угол — фаза \(\varphi\). Интенсивность \(I=\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\) поэтому содержит интерференционное слагаемое \(2E_1 E_2\cos(\varphi_1-\varphi_2)\). При \(\varphi_1-\varphi_2=\pi\) и \(E_1=E_2\) поле гасится начисто: \(I=0\), хотя каждая волна в отдельности несёт энергию. Энергия уходит вбок — туда, куда наш одномерный «вдоль \(z\)» не смотрит.
Предел \(E_2\to0\) возвращает первую волну. Равные амплитуды в квадратуре (\(\Delta\varphi=\pi/2\)) дают \(E_0=E\sqrt2\) и \(I\) вдвое больше одной волны — не вчетверо, потому что фазы не сложились. Волновое сопротивление то же, \(Z_0=377\) Ом: магнитное поле результирующей связано с \(E_0\) обычным \(B_0=E_0/c\), ведь обе волны бегут в одну сторону и их \(B\) складываются так же, как \(E\).