Две плоские синусоидальные волны, амплитуда которых \(E_0\), имеют частоту соответственно \(\omega\) и \(\omega+\Delta\), \(\Delta\ll\omega\), и распространяются в одном направлении, накладываясь друг на друга. Чему равна максимальная амплитуда результирующей волны? Определите распределение средней плотности энергии результирующей волны вдоль направления распространения волн.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть волны \(E_0\sin[\omega(t-z/c)]\) и \(E_0\sin[(\omega+\Delta)(t-z/c)+\varphi]\). Сумма
\[ E=2E_0\cos\left[\frac\Delta2\Bigl(t-\frac zc\Bigr)+\frac\varphi2\right]\sin\left[\Bigl(\omega+\frac\Delta2\Bigr)\Bigl(t-\frac zc\Bigr)+\frac\varphi2\right]. \]Огибающая имеет максимум \(2E_0\) — это и есть максимальная амплитуда результирующей волны.
Плотность энергии волны \(w=\varepsilon_0 E^2\) (с учётом равного вклада магнитного поля — \(\varepsilon_0 E^2\) уже полное). Усреднение по быстрым осцилляциям несущей даёт половину квадрата огибающей:
\[ \langle w\rangle=2\varepsilon_0 E_0^2\cos^2\left[\frac\Delta2\Bigl(t-\frac zc\Bigr)+\frac\varphi2\right]. \]В книге записано \(w=\dfrac1{2\pi}E_0^2\cos^2\bigl[(t-z/c)\Delta+\varphi\bigr]\). Это та же зависимость по форме (квадрат косинуса от медленной фазы); коэффициент \(1/(2\pi)\) — след другой нормировки плотности (иногда \(w=E^2/(8\pi)\) в СГС, и тогда среднее \(\propto E_0^2\cos^2/\pi\)). Главное — пространственно-временная структура: сгустки энергии бегут со скоростью \(c\), расстояние между ними \(\pi c/\Delta\).
Огибающая биений сама бежит со скоростью \(c\): аргумент \((t-z/c)\Delta+\varphi\) постоянен на характеристике \(z=ct+\mathrm{const}\). Пространственный период биений \(\Lambda=2\pi c/\Delta\). Средняя (по несущей \(\omega\)) плотность энергии \(w=\varepsilon_0\langle E^2\rangle=\varepsilon_0 E_0^2\cos^2(\ldots)\) в СИ; полный интеграл по периоду огибающей равен сумме энергий двух волн — интерференция ничего не создаёт и не уничтожает, только перекладывает.
При \(\Delta\to0\) огибающая замирает, и мы возвращаемся к задаче 12.1.4: амплитуда от 0 до \(2E_0\) в зависимости от \(\varphi\). Интенсивность в пучности \(I_{\max}=2c\varepsilon_0 E_0^2\) — вчетверо больше одной волны, как и должно быть у синфазного сложения. В радиотехнике \(\Delta/2\pi\sim1\) кГц слышно как тон; в оптике при \(\Delta/\omega\sim10^{-6}\) биения уже на метрах, и «цвет» ещё не успевает разъехаться.