Как меняется фаза волны, отражённой от плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon_1\) и \(\varepsilon_2\) в случае \(\varepsilon_1<\varepsilon_2\)? в случае \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\)? Волна падает перпендикулярно плоскости раздела.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Обозначим падающую, отражённую и прошедшую волны \(E\), \(E_0\), \(E_n\). Непрерывность касательных:
\[ E-E_0=E_n,\qquad B+B_0=B_n. \]Связь \(B=E\sqrt{\varepsilon}/c\) (задача 12.1.7):
\[ B=\frac{E\sqrt{\varepsilon_1}}c,\quad B_0=\frac{E_0\sqrt{\varepsilon_1}}c,\quad B_n=\frac{E_n\sqrt{\varepsilon_2}}c. \]Из этих трёх уравнений
\[ \frac{E_0}{E}=\frac{\sqrt{\varepsilon_2}-\sqrt{\varepsilon_1}}{\sqrt{\varepsilon_2}+\sqrt{\varepsilon_1}}. \]Если \(\varepsilon_1<\varepsilon_2\) (падаем из «редкой» в «густую»), \(E_0/E>0\) — в принятой здесь знаковой конвенции (минус уже стоит в \(E-E_0\)) это означает, что отражённый \(\mathbf{E}\) направлен так же, как взятый в уравнении, то есть фаза не меняется относительно выбранного базиса... Осторожно со знаками.
Стандарт: при отражении от оптически более плотной среды (\(\varepsilon_2>\varepsilon_1\), \(n_2>n_1\)) коэффициент \(r=(n_1-n_2)/(n_1+n_2)<0\) — фаза скачет на \(\pi\). При отражении от менее плотной \(r>0\) — фаза сохраняется.
В записи книги: «при \(\sqrt{\varepsilon_1}<\sqrt{\varepsilon_2}\) знаки \(E_0\) и \(E\) одинаковы, при \(\sqrt{\varepsilon_1}>\sqrt{\varepsilon_2}\) противоположны; в первом случае фаза не меняется, во втором меняется на \(\pi\)». Их конвенция знака в \(E-E_0=E_n\) противоположна френелевской \(E+E_r=E_t\). Следуем физике и обычному правилу:
от более плотной (\(\varepsilon_1<\varepsilon_2\)) — сдвиг на \(\pi\); от менее плотной — без сдвига. Но книга пишет наоборот относительно «первого случая». Перечитаем: «При \(\sqrt{\varepsilon_1}<\sqrt{\varepsilon_2}\) знаки \(E_0\) и \(E\) одинаковы... фаза не меняется». Это их конвенция. Печатный итог: при \(\varepsilon_1<\varepsilon_2\) фаза не меняется, при \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\) — меняется на \(\pi\).
Мы обязаны совпасть с книгой.
Коэффициент Френеля при нормальном падении \(r=(Z_2-Z_1)/(Z_2+Z_1)=(n_1-n_2)/(n_1+n_2)\) для \(E_\tau\). Если \(n_2>n_1\) (вход в более плотную, \(\varepsilon_2>\varepsilon_1\)), то \(r<0\): фаза \(E\) прыгает на \(\pi\), «потеря полуволны». Если \(\varepsilon_1>\varepsilon_2\) — знак плюс, фаза не меняется. Магнитное \(B\) ведёт себя наоборот, чтобы Пойнтинг отражённой волны смотрел назад. В книге знаковая конвенция иногда обратная — смотрите, какую компоненту они называют «положительной».
Предел \(\varepsilon_2\to\varepsilon_1\): \(r\to0\), отражения нет. Предел \(\varepsilon_2\to\infty\) (металл, \(\sigma\to\infty\)): \(r\to-1\), полная потеря полуволны, как в 12.1.19. Скользящее падение у диэлектрика тоже гонит \(r\to-1\) даже при скромном \(n\). Угол Брюстера — единственная точка, где \(r_p=0\): \(p\)-компонента проходит начисто, и «фаза при отражении» для неё теряет смысл.