Покажите с помощью закона сохранения энергии, что в сферической волне, излучаемой точечным источником, амплитуда напряжённости электрического поля и индукции магнитного поля волны убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, если энергия волны не поглощается средой.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть источник излучает среднюю мощность \(N\). Через сферу радиуса \(r\)
\[ N=I\cdot 4\pi r^2=\mathrm{const}\qquad\Longrightarrow\qquad I\propto\frac1{r^2}. \]Интенсивность плоской (локально) волны \(I=\varepsilon_0 c E_0^2/2\propto E_0^2\propto B_0^2\). Значит
\[ E_0(r)\propto\frac1r,\qquad B_0(r)\propto\frac1r. \]Поглощения нет — иначе в \(N(r)\) появился бы множитель \(e^{-\mu r}\) и спад был бы быстрее.
Та же \(1/r\) сидит в формуле дипольного излучения: \(E\propto \ddot p\sin\theta/(c^2 r)\). Угол \(\theta\) даёт диаграмму «бублика», а радиальное падение — закон сохранения. Вблизи источника (ближняя зона \(r\ll\lambda\)) поле квазистатическое и падает быстрее, \(1/r^2\) и \(1/r^3\); наша оценка — про волновую зону, куда энергия уже улетела.
Мощность через сферу любого радиуса одна и та же: \(4\pi r^2 I=\mathrm{const}\). Интенсивность \(I=|\mathbf{S}|=\varepsilon_0 c E^2\) (или \(\tfrac12 c\varepsilon_0 E_0^2\) у синусоиды) падает как \(1/r^2\), значит \(E\propto1/r\) и \(B=E/c\propto1/r\). Это сохранение энергии плюс \(I\propto E^2\), без всякой «формулы излучения». Фаза на сфере \(kr-\omega t\), волновой вектор \(\mathbf{k}\) радиален, тройка \(\mathbf{E},\mathbf{B},\mathbf{k}\) по-прежнему правая.
При \(r\to\infty\) поле гаснет, но поток мощности конечен — поэтому звёзды видны. При \(r\to0\) школьная \(1/r\) расходится: ближняя зона диполя устроена иначе (\(1/r^2\), \(1/r^3\)), и туда закон «\(I\cdot 4\pi r^2=\mathrm{const}\)» не применим — энергия колеблется, не улетает. Плоская волна — предел сферы бесконечного радиуса: \(E\) уже не падает, фронт плоский, \(I=\mathrm{const}\).