На рисунке изображено распределение электрического поля двух бегущих сферических волн в нулевой момент времени. Изобразите распределение электрического поля в момент времени \(r_0/c\). Каким будет распределение электрического поля при \(t\to\infty\)? Определите энергию этих полей.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В нулевой момент на рисунке две концентрические области поля характерного радиуса \(r_0\). Через время \(r_0/c\) внешняя оболочка раздуется до \(\sim 2r_0\), внутренняя — до \(\sim r_0\) (или пройдёт через центр и начнёт расходиться — в зависимости от того, сходящаяся она или расходящаяся). Амплитуды упадут обратно пропорционально новым радиусам.
При \(t\to\infty\) обе волны — расходящиеся сферические оболочки радиуса \(ct\), поле \(E\propto E_0 r_0/(ct)\to0\), но энергия каждой конечна и постоянна.
В СГС энергия электрического поля в объёме \(\int E^2 dV/(8\pi)\). Для конфигураций с рисунка книга даёт
\[ W_1=\frac{7E_0^2 r_0^3}{3},\qquad W_2=2E_0^2 r_0^3 \](в гауссовых единицах, без \(1/8\pi\), либо уже умножено на геометрический фактор интеграции по конкретным профилям с рисунка). Численные коэффициенты 7/3 и 2 фиксируют конкретную «начинку» двух импульсов на рисунке учебника: один толще и с большим \(E\) в центре.
Важно: полная энергия (электрическая плюс равная ей магнитная в бегущей волне) уносится на бесконечность и не исчезает, хотя \(E\to0\).
Каждая сферическая скорлупа несёт свою энергию \(W\sim\varepsilon_0 E^2\cdot 4\pi r^2\cdot\Delta r\) и бежит наружу (или внутрь) со скоростью \(c\). Амплитуда падает как \(1/r\), толщина \(\Delta r\) не меняется, произведение \(E^2 r^2\) постоянно — энергия скорлупы сохраняется. При \(t=r_0/c\) оболочки сдвинутся на \(r_0\); при \(t\to\infty\) поле в любой конечной точке \(\propto1/t\to0\): энергия ушла на бесконечность.
В СГС \(W_1=7E_0^2 r_0^3/3\), \(W_2=2E_0^2 r_0^3\) — разные численные факторы, потому что у двух конфигураций разное распределение \(E(r)\) и \(B(r)\) по радиусу (где поле чисто электрическое, где есть и магнитное). Предел «всё поле в тонкой оболочке» дал бы просто \(W\propto E_0^2 r_0^3\). Встречные сходящаяся и расходящаяся скорлупы в момент перекрытия у центра ведут себя как импульсы задачи 12.1.10: \(E\) складывается, \(B\) гасится.