Согласно принципу Гюйгенса—Френеля каждый участок фронта волны является источником вторичной сферической волны. Огибающая этих волн даёт новый фронт волны. Покажите, используя этот принцип, что: а) плоский фронт электромагнитной волны перемещается со скоростью света \(c\) в направлении, перпендикулярном плоскости фронта; б) радиус сферического фронта за время \(\tau\) возрастает на \(\tau c\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. Плоский фронт. Центры вторичных сфер лежат на плоскости. Их огибающая — две плоскости, параллельные исходной, на расстоянии \(c\tau\). Назад волна не идёт (полусферы Френеля / принцип излучения), остаётся передняя плоскость. Она продвинулась строго по нормали на \(c\tau\), скорость \(c\).
б. Сферический фронт радиуса \(R\). Центры вторичных сфер лежат на этой сфере. Огибающая — сфера радиуса \(R+c\tau\) (внешняя) и сфера радиуса \(|R-c\tau|\) (внутренняя, сходящаяся). Физический расходящийся фронт — внешняя огибающая: радиус вырос на \(c\tau\).
Принцип Гюйгенса — это графическая запись того, что каждая точка фронта излучает со скоростью \(c=3\cdot10^8\) м/с, а новый фронт есть огибающая. Для плоскости огибающая параллельна старой и отстоит на \(c\tau\); для сферы радиус растёт на \(c\tau\). Волновой вектор \(\mathbf{k}\) всегда нормален к фронту, фаза \(\omega t-\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\) на огибающей одна и та же. Показатель \(n=1\), \(v=c\).
Задняя огибающая отбрасывается принципом излучения (полусферы Френеля): иначе волна бежала бы назад сама в себя. Предел \(R\to\infty\) склеивает оба пункта — плоскость есть сфера бесконечного радиуса. Если среда с \(n>1\), радиус вторичных сфер \(v\tau=c\tau/n\), и фронт ползёт медленнее; частота \(\omega\) при этом не при чём — Гюйгенс ещё «до» дисперсии. На металле (\(\sigma\to\infty\)) вторичные источники на поверхности переизлучают так, чтобы \(E_\tau=0\), и огибающая даёт отражённый фронт.