Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что скорость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью \(\varepsilon\) и магнитной проницаемостью \(\mu\) равна \(c/\sqrt{\mu\varepsilon}\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Повторим контур задачи 12.1.6. В среде \(B=\mu\mu_0 H\), поток \(\Phi_B=\mu\mu_0 H\cdot\ell x\), \(\dot x=v\). Фарадей:
\[ E=v\cdot\mu\mu_0 H=v B. \]Теперь контур, «ловящий» ток смещения. Поток смещения \(N=\varepsilon\varepsilon_0 E\cdot\ell x\), \(dN/dt=\varepsilon\varepsilon_0 E\ell v\). Из 11.6.1 в среде \(C_H=dN/dt\) (или \(C_B=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0 dN_E/dt\)):
\[ H=\varepsilon\varepsilon_0 E v\qquad\bigl(B=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0 E v\bigr). \]Подставляем \(B=E/v\) из Фарадея:
\[ \frac Ev=\mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0 E v\qquad\Longrightarrow\qquad v^2=\frac{1}{\mu\varepsilon\mu_0\varepsilon_0}=\frac{c^2}{\mu\varepsilon}, \] \[ v=\frac{c}{\sqrt{\mu\varepsilon}}. \]Это и есть скорость света в среде. Показатель преломления \(n=\sqrt{\mu\varepsilon}\).
Перемножая \(E=vB\) и \(B=\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0 v E\), получаем \(v^2=1/(\varepsilon\varepsilon_0\mu\mu_0)\), то есть \(v=c/\sqrt{\mu\varepsilon}\). Это же \(n=\sqrt{\mu\varepsilon}=c/v\). Волновое сопротивление среды \(Z=\sqrt{\mu\mu_0/(\varepsilon\varepsilon_0)}=Z_0\sqrt{\mu/\varepsilon}\) зависит от отношения, скорость — от произведения: в феррите с \(\mu=100\), \(\varepsilon=1\) волна в десять раз медленнее, а \(Z\) в десять раз больше вакуумного.
Вакуум \(\mu=\varepsilon=1\) даёт \(c=3\cdot10^8\) м/с. Стекло \(\varepsilon\approx2{,}25\), \(\mu=1\), \(v=2\cdot10^8\) м/с, \(n=1{,}5\). Если формально устремить \(\varepsilon\to\infty\) (проводник, \(\sigma\to\infty\) в квазистатике), скорость падает до нуля: волна в идеальный металл не входит, остаётся скин и отражение. Именно поэтому в задаче 12.1.19 внутри металла фиктивная волна, а не настоящая.