Рассчитайте амплитуду \(a\) элементарной вторичной волны Гюйгенса—Френеля. (Амплитуда \(a\) пропорциональна амплитуде \(A\) первичной волны, дошедшей от элемента \(\Delta S\), площади этого элемента и обратно пропорциональна \(r\), т. е. \(a=cA\Delta S/r\). Для определения \(c\) сравните амплитуду плоской волны в какой-либо точке и амплитуду, рассчитанную по методу Френеля, в этой же точке, когда в качестве вспомогательной поверхности взят фронт плоской волны.)
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Сумма по зонам Френеля на плоском фронте: амплитуда от первой зоны \(a_1=c A\cdot(\pi\lambda r)/r=c A\pi\lambda\), а полная амплитуда (до полюса спирали) вдвое меньше: \(A_{\text{рез}}=c A\pi\lambda/2\). Более аккуратно — интеграл
\[ \int\frac{cA}{r}e^{ikr}\,dS \]по плоскости даёт \(c\cdot A\cdot\lambda/i\) (метод стационарной фазы / контур в комплексной плоскости). Чтобы \(A_{\text{рез}}=A\), нужно
\[ c=\frac{i}{\lambda}. \]Умножение на \(i=e^{i\pi/2}\) — сдвиг фазы вторичной волны на \(\pi/2\) относительно первичной (известная «вольность» Гюйгенса, которую Френель поправил наклоном и фазой). Итак
\[ a=\frac{A\Delta S}{r}\cdot\frac{i}{\lambda}. \]Нормировка вторичных волн: интеграл по плоскостному фронту обязан воспроизвести исходную плоскую волну амплитуды \(A\). Зоны Френеля складываются в \(A_{\text{рез}}=c\cdot A\cdot\lambda\) с множителем \(i\) (сдвиг на \(\pi/2\): каждая вторичная отстаёт от касательной к огибающей). Отсюда \(c=i/\lambda\) и \(a=A\Delta S\,i/(r\lambda)\). Множитель \(1/r\) — сферическая расходимость, \(1/\lambda\) — размер зоны \(\sim\sqrt{\lambda r}\).
Размерность: \(\Delta S/(r\lambda)\) безразмерна, \(a\) той же размерности, что \(A\). Без \(i\) зоны сложились бы в стоячую, а не бегущую волну. Предел \(\Delta S\to0\) — вторичная волна исчезает. Кирхгоф уточняет ещё наклонный множитель \((1+\cos\theta)/2\): назад вторичные не светят. На металле те же вторичные с фазой, обеспечивающей \(E_\tau=0\), дают отражённую волну — Гюйгенс и Френель работают и на зеркале.