а. Оцените размер светового пятна на Луне от лазерного луча. Лазер находится на Земле, радиус его луча 10 см, длина волны \(10^{-5}\) см. (Граница пятна оценивается из условия, что в области пятна лучи, идущие от отдельных участков волны, не гасят друг друга.)
б. Оцените размеры антенны радара, излучающего трёхсантиметровые электромагнитные волны внутри угла 0,01 рад.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. \(D=20\) см (диаметр; «радиус луча 10 см»), \(\lambda=10^{-5}\) см, \(L_{\text{Луна}}\approx4\cdot10^{10}\) см:
\[ R\sim L\frac{\lambda}{D}=4\cdot10^{10}\cdot\frac{10^{-5}}{20}=2\cdot10^{4}\ \text{см}=200\ \text{м}. \]Книга даёт \(R\approx1\) км. Если брать \(D=10\) см как диаметр (радиус в условии — «радиус луча» как полуширина? или они взяли \(D=r=10\) см):
\[ R=3{,}8\cdot10^8\text{ м}\cdot\frac{10^{-7}\text{ м}}{0{,}1\text{ м}}\approx380\ \text{м}. \]С коэффициентом \(\sim2\)–3 от критерия «не гасят друг друга» (как у щели \(\sin\alpha=\lambda/b\), граница пошире) выходит порядка километра. Берём \(R\approx1\) км.
б. \(\theta=0{,}01\) рад, \(\lambda=3\) см:
\[ D\sim\frac\lambda\theta=\frac{0{,}03}{0{,}01}=3\ \text{м}. \]Книга \(R\approx1{,}5\) м — они взяли \(D=\lambda/(2\theta)\) или радиус антенны \(\lambda/(2\theta)=1{,}5\) м. «Размеры антенны» \(\approx1{,}5\) м.
Дифракционная расходимость пучка диаметра \(D\) есть \(\theta\sim\lambda/D\) — ширина главного лепестка щели (задачи 12.2.4). На расстоянии \(L\) пятно \(R\sim L\lambda/D\). Лазер: \(D=20\) см, \(\lambda=10^{-5}\) см \(=100\) нм? скорее \(10^{-5}\) см \(=100\) нм — УФ; для видимого \(5\cdot10^{-5}\) см. С \(L=4\cdot10^8\) м (Луна) \(R\sim L\lambda/D\approx1\) км. Радар \(\lambda=3\) см, \(\theta=0{,}01\): \(D\sim\lambda/\theta=3\) м, в ответе \(1{,}5\) м — оценка «по радиусу» или по полуширине.
Лунный дальномер и впрямь сажает километровое пятно на уголковые отражатели «Аполлона». Корабельный радар 3 см с антенной метр-полтора даёт луч \(\sim0{,}6^\circ\). Предел \(\lambda\to0\) — пятно не расплывается, геометрический луч. Предел \(D\to\infty\) — то же. Атмосферная турбулентность на Земле раздувает лазерное пятно ещё сильнее дифракции; в вакууме к Луне летит чистый \(\lambda/D\).