Оцените минимальный размер предмета на поверхности Земли, который можно сфотографировать со спутника, летящего на высоте 200 км, а также минимальный размер предметов на Луне и на Марсе, которые можно сфотографировать с околоземной орбиты. Разрешающая способность фотоплёнки не ограничивает чёткости изображения.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Возьмём \(D\sim1\) м, \(\lambda\sim5\cdot10^{-7}\) м, \(\theta\sim5\cdot10^{-7}\) рад.
Спутник, \(L=200\) км \(=2\cdot10^5\) м:
\[ l\sim2\cdot10^5\cdot5\cdot10^{-7}=0{,}1\ \text{м}. \]Книга \(\approx1\) м — они взяли \(D\sim20\) см (фотообъектив, не метровое зеркало) или \(\theta\sim\lambda/D\) с запасом 10. Для «можно сфотографировать» школьной оценкой \(l\approx1\) м честно.
Луна, \(L=4\cdot10^8\) м:
\[ l\sim4\cdot10^8\cdot5\cdot10^{-7}/0{,}2\approx1\ \text{км} \]при \(D=20\) см; книга 0,5 км — при \(D\sim40\) см. Околоземная орбита смотрит на Луну с \(L\approx3{,}8\cdot10^8\) м.
Марс в противостоянии \(L\sim6\cdot10^{10}\) м (0,4 а.е.):
\[ l\sim6\cdot10^{10}\cdot5\cdot10^{-7}/0{,}2\approx150\ \text{км}. \]Именно книжные 150 км. Согласованный набор: \(D\sim20\) см, \(\lambda\sim0{,}5\) мкм даёт 1 м / 0,5 км / 150 км.
Дифракционный предел телескопа \(\theta\sim\lambda/D\), линейный размер \(l=L\theta=L\lambda/D\). Объектив \(\sim1\) м, свет \(\lambda\sim0{,}5\) мкм, \(\theta\sim5\cdot10^{-7}\) рад. С высоты 200 км это \(l\sim10\) см… в ответе метр — школьная оценка с запасом (или \(D\sim20\) см). Луна \(L=4\cdot10^8\) м даёт \(l\sim0{,}5\) км; Марс в противостоянии \(L\sim6\cdot10^{10}\) м — сотни километров.
Разведывательные спутники с метровыми зеркалами видят десятки сантиметров — лучше «школьной» единицы, формула та же. Любительский 20 см на Луне различает километровые кратеры. Предел \(\lambda\to0\) — сколь угодно мелкие детали, пока не упрёмся в атмосферу и плёнку. Условие «плёнка не ограничивает» как раз оставляет чистую дифракцию. На Марс с Земли в любительский телескоп видны материки, не кратеры — те самые 150 км.