С помощью принципа Гюйгенса—Френеля докажите, что при падении плоской волны на границу раздела двух сред: а) угол падения равен углу отражения (\(\alpha_1=\alpha_3\)); б) отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скорости волны в первой среде к скорости волны во второй среде (\(\sin\alpha_1/\sin\alpha_2=v_1/v_2\)).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть фронт падающей волны касается границы сначала в \(A\), потом — через время \(\tau=AB\sin\alpha_1/v_1\) — в \(B\).
а. Отражение. Из \(A\) за время \(\tau\) ушла полусфера радиуса \(v_1\tau\). Огибающая этих сфер (центры на отрезке \(AB\)) — плоскость, проходящая через \(B\) и касающаяся сферы из \(A\). Прямоугольные треугольники падения и отражения имеют общий катет \(AB\) и равные гипотенузы \(v_1\tau\), поэтому \(\alpha_3=\alpha_1\).
б. Преломление. Во второй среде сферы растут со скоростью \(v_2\), радиус из \(A\) равен \(v_2\tau\). Аналогичный треугольник даёт \(AB\sin\alpha_2=v_2\tau\). Но \(AB\sin\alpha_1=v_1\tau\), откуда
\[ \frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\frac{v_1}{v_2}. \]Это закон Снеллиуса: \(n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\alpha_2\), потому что \(n=c/v\).
Пока край \(B\) ждёт, край \(A\) уже нарисовал сферу радиуса \(v_1\tau\) сверху и \(v_2\tau\) снизу. Огибающие — две новые плоскости. Равенство катетов даёт \(\alpha_1=\alpha_3\) и закон Снеллиуса \(n_1\sin\alpha_1=n_2\sin\alpha_2\), потому что \(n=c/v\). Это же непрерывность \(k_\tau\): касательная компонента волнового вектора не прыгает, иначе фаза разошлась бы вдоль границы.
Нормальное падение \(\alpha_1=0\): \(\alpha_2=0\), луч не ломается, работают только френелевские амплитуды. Скользящее \(\alpha_1\to90^\circ\): если \(n_2<n_1\), наступает полное внутреннее отражение при \(\sin\alpha_{\text{кр}}=n_2/n_1\). Предел \(n_2\to n_1\) (\(\varepsilon\to1\) относительно первой среды) — преломлённый луч идёт без излома, отражённый гаснет. На металле преломлённого фронта нет, остаётся только зеркальная огибающая.