Савченко, задача 12.2.4

Решение

Разность хода между краями щели \(b\sin\alpha\). Если её разделить пополам, верхняя половина щели в точности гасит нижнюю, когда

\[ \frac b2\sin\alpha=\frac\lambda2\qquad\Longrightarrow\qquad\sin\alpha=\frac\lambda b. \]

Это первый минимум. Следующие — когда щель делится на 4, 6, … равных частей:

\[ \sin\alpha_k=\frac{k\lambda}{b},\qquad k=\pm1,\pm2,\ldots,\quad |k|<b/\lambda. \]

Центральный максимум при \(\alpha=0\): все вторичные волны в фазе.

Почему именно \(\sin\alpha\), а не \(\alpha\)? Разность хода — это геометрическая проекция ширины щели на направление наблюдения. При малых углах \(\sin\alpha\approx\alpha\), и формула становится \(\alpha_k=k\lambda/b\) в радианах — так оценивают расходимость лазерного пучка и разрешение телескопа.

Главный максимум в \(b/\lambda\) раз уже, чем «изотропное» свечение одной точки. Свет, который геометрическая оптика послала бы строго вперёд узким столбом, дифракция размазала веером с характерным углом \(\lambda/b\). Чем уже щель, тем веер шире: через булавочную дырочку мир виден, но размыто.

Щель ширины \(b\) как набор вторичных источников Гюйгенса. Разность хода между краями \(b\sin\alpha\); деля щель на \(2,4,\ldots\) полосок с шагом \(\lambda/2\), получаем попарное гашение при \(\sin\alpha_k=k\lambda/b\). Центральный максимум \(\alpha=0\) — все в фазе. Ширина главного лепестка \(\sim\lambda/b\): чем уже щель, тем шире веер. Интенсивность вдали \(I(\alpha)\propto\bigl(\sin\beta/\beta\bigr)^2\), \(\beta=\pi b\sin\alpha/\lambda\).

При \(\lambda\ll b\) углы малы, \(\alpha_k\approx k\lambda/b\) — почти геометрическая тень, дифракция едва подгрызает края. При \(\lambda\to b\) остаётся один минимум у горизонта, щель светит почти изотропно. Нормальное падение здесь в условии; при косом появится \(b(\sin\alpha-\sin\alpha_0)=k\lambda\), и нули поедут. Предел одной точки (\(b\to0\)) — никаких минимумов, сферическая волна.