На стеклянную дифракционную решётку, имеющую 200 линий на 1 мм и покрытую тонким слоем золота, падает очень узкий пучок \(K_\alpha\)-излучения меди (\(\lambda=1{,}541\cdot10^{-10}\) м) под углом \(20'\) к её поверхности. Определите разность углов отражения между пучками первого и нулевого порядка.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Период решётки \(d=1/200\) мм \(=5\cdot10^{-6}\) м. Угол скольжения падающего пучка \(\alpha=20'=20/60\cdot\pi/180=5{,}82\cdot10^{-3}\) рад. Для малых углов \(\cos\alpha\approx1-\alpha^2/2\), условие максимума
\[ d(\cos\alpha-\cos\beta)=m\lambda. \]Нулевой порядок: \(\beta_0=\alpha\). Первый: \(d(\alpha^2-\beta_1^2)/2\approx-\lambda\) (знак: первый порядок «отлипает» от поверхности, \(\beta_1>\alpha\)):
\[ \frac d2(\beta_1^2-\alpha^2)=\lambda,\qquad\beta_1^2=\alpha^2+\frac{2\lambda}d. \]\(2\lambda/d=2\cdot1{,}541\cdot10^{-10}/5\cdot10^{-6}=6{,}16\cdot10^{-5}\), \(\alpha^2=3{,}38\cdot10^{-5}\), \(\beta_1^2=9{,}54\cdot10^{-5}\), \(\beta_1=9{,}77\cdot10^{-3}\) рад \(=33{,}5'\).
\[ \Delta\alpha=\beta_1-\alpha=13{,}5'. \]Рентген \(\lambda=1{,}54\) Å почти скользит: обычное \(d\sin\theta=m\lambda\) бессмысленно, \(\sin\theta\sim\lambda/d\sim3\cdot10^{-5}\). Работает разность хода \(d(\cos\alpha-\cos\beta)\), и при малых углах скольжения \(d(\beta^2-\alpha^2)/2=m\lambda\). Нулевой порядок — зеркальное \(\beta_0=\alpha=20'\); первый отлипает на \(\Delta\alpha=13{,}5'\). Золотое покрытие делает решётку отражательной: стекло для рентгена почти прозрачно, \(|r|\ll1\).
Скользящее падение здесь обязательно: \(\alpha=20'=5{,}8\cdot10^{-3}\) рад, \(\alpha^2\) и \(2\lambda/d\) одного порядка, оба члена живут. При нормальном падении такая решётка (\(d=5\) мкм) для рентгена не работает — период в 30 000 раз больше \(\lambda\). Предел \(\alpha\to0\) (совсем вдоль поверхности) первый порядок всё равно отлипает на \(\sqrt{2\lambda/d}\approx27'\). Это схема компактного рентгеновского спектрометра.