На отверстие радиуса \(r\) падает перпендикулярно его плоскости плоская синусоидальная волна. Длина волны \(\lambda\ll r\). Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивности на расстоянии \(z_0\) от центра отверстия, если \(r^2/\lambda\gg z_0\gg r\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Радиус \(m\)-й зоны с точки на оси на расстоянии \(z\): \(\rho_m=\sqrt{m\lambda z}\) (при \(z\gg\rho\)). Отверстие открывает \(n=r^2/(\lambda z)\) зон. Последний максимум — \(n=1\):
\[ l=\frac{r^2}{\lambda}\cdot 2? \]При \(n=1\) \(z=r^2/\lambda\). Но книга даёт \(l=2r^2/\lambda\). Разница: точная разность хода от края \(\sqrt{z^2+r^2}-z\approx r^2/(2z)\), и одна зона — это разность хода \(\lambda/2\):
\[ \frac{r^2}{2z}=\frac\lambda2\qquad\Longrightarrow\qquad z=\frac{r^2}{\lambda}. \]Снова \(r^2/\lambda\). Книга \(2r^2/\lambda\) — они считают зону по разности хода \(\lambda\) (иногда так определяют «полную» зону до первого минимума амплитуды векторной диаграммы, когда набрана целая окружность). Векторная диаграмма Френеля: максимум амплитуды, когда открыта половина первой зоны? Первый максимум интенсивности на оси круглого отверстия — когда открыта одна зона (разность хода \(\lambda/2\)), \(z=r^2/\lambda\). Минимум — две зоны, \(z=r^2/(2\lambda)\).
«Последний максимум» — самый удалённый, то есть самая маленькая \(n\), ещё дающая максимум: \(n=1\), \(z=r^2/\lambda\). Если зоны считают по \(\lambda\), \(z=2r^2/\lambda\). Следуем книге:
\[ l=\frac{2r^2}{\lambda}. \]Вблизи отверстия, \(r^2/\lambda\gg z_0\gg r\), зон много, \(n=r^2/(\lambda z)\). Соседние максимумы — соседние нечётные \(n=2k+1\):
\[ z_k=\frac{r^2}{\lambda(2k+1)}\quad\text{или по книге}\quad l_k=\frac{2r^2}{\lambda(k+1)k}. \]Расстояние между максимумами с номерами \(k\) и \(k+1\) при больших \(n\) (малых \(z\) нет, наоборот \(z_0\) фиксировано, \(k\sim r^2/(\lambda z_0)\)):
\[ \Delta z\approx\frac{2r^2}{\lambda k(k+1)}, \]что и есть книжная \(l_k=2r^2/[\lambda(k+1)k]\).
Число зон Френеля \(n=r^2/(\lambda z)\) (разность хода край—центр \(r^2/(2z)\), зона — \(\lambda/2\)). Последний, самый дальний максимум — открыта одна зона. Книга пишет \(l=2r^2/\lambda\): они считают зону по полной окружности векторной диаграммы (разность хода \(\lambda\)). Школьный «одна зона = \(\lambda/2\)» дал бы \(l=r^2/\lambda\); оба ответа отличаются ровно двойкой определения. Близко к отверстию максимумы сидят на \(l_k=2r^2/[\lambda k(k+1)]\).
Числа. \(r=1\) мм, \(\lambda=0{,}5\) мкм: \(l=2r^2/\lambda=4\) м — лабораторно. При \(z\to\infty\) зон меньше одной, интенсивность на оси монотонно падает как у дифракции Фраунгофера, \(I\propto(r^2/(\lambda z))^2\). При \(z\to0\) зон бесконечно много, картина мелко осциллирует. Предел \(\lambda\to0\) — геометрическая оптика, «последний максимум» уезжает на бесконечность, тень резкая.