Определите область полной тени от круглого карандаша, если источником света служит цилиндрическая газосветная лампа. Карандаш и лампа расположены параллельно друг другу.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В любом поперечном сечении задача плоская: светящийся круг (лампа) и непрозрачный круг (карандаш). Луч, который ещё касается обоих кругов «с одной стороны», отделяет полную тень от полутени.
Две внешние касательные либо сходятся за карандашом, либо расходятся — это решает сравнение диаметров.
Пусть \(D_\text{л}\) — диаметр лампы, \(D_\text{к}\) — диаметр карандаша.
Если \(D_\text{л}>D_\text{к}\), касательные сходятся. Полная тень — конечная клиновидная призма (в сечении — треугольник). Она обрывается на расстоянии
\[ L=\frac{D_\text{к}}{D_\text{л}-D_\text{к}}\,a \]от карандаша, где \(a\) — расстояние между осями. Дальше есть только полутень.
Если \(D_\text{л}<D_\text{к}\), касательные расходятся. Полная тень уходит на бесконечность и расширяется — бесконечная клиновидная призма.
Если диаметры равны, касательные параллельны, и полная тень — бесконечная полоса той же ширины, что карандаш.
Газосветная лампа обычно толще карандаша, так что в комнате тень карандаша на столе уже полутень: полной тени до стола не хватает.