Савченко · Глава 13. Геометрическая оптика. Фотометрия. Квантовая природа света · § 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света

Савченко, задача 13.1.2

↑ задача в главе

Задача 13.1.2тень и полутень глобуса

Условие

Матовая электрическая лампочка в виде шара диаметром 6 см освещает глобус диаметра 26 см. Определите диаметр полной тени и полутени глобуса на стене. Расстояние от глобуса до лампочки 1 м, до стены 2 м.

К задаче 13.1.2. Внешние касательные дают умбру, внутренние — край полутени.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Диаметр полной тени читается по внешним касательным к лампе и глобусу, диаметр всей теневой пятна (тень + полутень) — по внутренним. Подобие треугольников, никакой оптики сверх прямолинейности лучей.

Лампа \(d=6\) см, глобус \(D=26\) см, от лампы до глобуса \(a=1\) м, от глобуса до стены \(b=2\) м. На стене, то есть на расстоянии \(a+b=3\) м от лампы.

Полная тень. Внешние касательные. Ширина пучка растёт линейно от \(d\) на лампе до \(D\) на глобусе и дальше:

\[ D_\text{тен}=D\cdot\frac{a+b}{a}-d\cdot\frac{b}{a}=26\cdot\frac{3}{1}-6\cdot\frac{2}{1}=78-12=66\ \text{см}. \]

Полутень (наружный край). Внутренние, скрещивающиеся касательные — от «верхнего» края лампы к «нижнему» краю глобуса:

\[ D_\text{пт}=D\cdot\frac{a+b}{a}+d\cdot\frac{b}{a}=26\cdot3+6\cdot2=78+12=90\ \text{см}. \]

Это диаметр всего тёмного пятна. Сама кольцевая полутень имеет ширину \((90-66)/2=12\) см с каждой стороны.

Проверка. Лампа меньше глобуса, полная тень обязана расширяться: 66 см > 26 см — так и есть. Если лампу стянуть в точку (\(d=0\)), оба диаметра сожмутся к одному: \(26\cdot3=78\) см, полутени не будет. Размерность — сантиметры.

ОтветДиаметр полной тени 66 см, всей тени вместе с полутенью 90 см.

Следующая задача 13.1.3 →