Полуцилиндрическое зеркало поместили в широкий пучок света, идущий параллельно плоскости симметрии зеркала. Найдите максимальный угол между лучами в отражённом от зеркала пучке (угол расхождения).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть центр полуокружности \(O\), вершина (дно чаши) слева, диаметр-открытие справа. Параллельный пучок идёт на вершине слева направо, в чашу. Точка падения \(M\) задаётся углом \(\varphi=\angle NOM\), где \(N\) — вершина.
Нормаль — радиус \(OM\). Угол падения равен \(\varphi\). Закон отражения поворачивает луч на \(2\varphi\): отражённый луч идёт под углом \(2\varphi\) к оси.
Не всякий луч после отражения выходит наружу. Луч из точки \(\varphi\) пересекает окружность вторично в точке с полярным углом \(3\varphi\) (это общее правило кругового бильярда: центральный угол между ударами равен \(\pi-2i= \pi-2\varphi\)). Второе пересечение лежит на зеркале — левой полуокружности — только при \(\varphi>30^\circ\). При \(\varphi=30^\circ\) отражённый луч как раз проходит через край диаметра. При \(\varphi<30^\circ\) второе пересечение было бы уже на «вырезанной» половине, то есть луч свободно уходит в отверстие.
Значит, крайние однократно отражённые и вышедшие лучи — это лучи с \(\varphi=\pm30^\circ\). Они идут под углами \(\pm60^\circ\) к оси. Угол между ними
\[ \alpha=120^\circ. \]Лучи с большим \(\varphi\) бьют в зеркало ещё раз и в «первичный» расходящийся пучок не входят.