Со стороны основания пустотелого конуса высоты \(h\) с малым углом при вершине отрезали небольшое кольцо и поместили в параллельный пучок света, широкой частью в сторону пучка. На каком расстоянии от кольца сфокусируются отразившиеся от него лучи света?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Пусть угол между образующей и осью равен \(\alpha\ll1\). Кольцо отрезано у основания, так что до вершины по оси почти \(h\), радиус кольца \(r=h\,\mathrm{tg}\,\alpha\approx h\alpha\).
Параллельный оси луч падает на внутреннюю поверхность. Нормаль к образующей составляет с осью угол \(90^\circ-\alpha\), угол падения равен \(90^\circ-\alpha\). После отражения луч составляет с осью угол \(2\alpha\) и идёт к оси.
От точки падения до оси по перпендикуляру \(r\). Луч идёт под углом \(2\alpha\), значит до пересечения с осью он проходит вдоль оси расстояние
\[ x=\frac{r}{\mathrm{tg}\,2\alpha}\approx\frac{h\alpha}{2\alpha}=\frac{h}{2}. \]Все образующие одинаковы, поэтому всё кольцо собирает параллельный пучок в одну точку на оси — на полпути к той вершине, которую «продолжает» конус.