Савченко · Глава 13. Геометрическая оптика. Фотометрия. Квантовая природа света · § 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света

Савченко, задача 13.1.13

↑ задача в главе

Задача 13.1.13фокус сферического зеркала

Условие

Определите фокусное расстояние сферического зеркала радиуса кривизны \(R\).

К задаче 13.1.13. Параксиальный луч, параллельный оси, после отражения идёт через середину радиуса.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Фокус — точка, куда после отражения собираются лучи, пришедшие параллельно главной оси. В параксиальном пучке закон отражения на сфере сразу даёт \(f=R/2\).

Пусть \(P\) — полюс зеркала, \(C\) — центр кривизны, \(PC=R\). Луч, параллельный оси, бьёт в точку \(M\) недалеко от \(P\). Нормаль — радиус \(CM\). Угол падения равен углу \(\angle MCM'=\varphi\), где \(\varphi\) — угол между \(CM\) и осью.

Отражённый луч составляет с нормалью тот же угол \(\varphi\), поэтому с осью он составляет \(2\varphi\) и пересекает ось в точке \(F\). В треугольнике \(CMF\) угол при \(C\) равен \(\varphi\), угол при \(F\) равен \(2\varphi-\varphi=\varphi\) (внешний). Треугольник равнобедренный: \(CF=FM\). Но в параксиальном пределе \(FM\approx FP\approx PF\), и \(CF\approx PF\). Тогда \(PC=CF+FP=2\,PF\), то есть

\[ f=PF=\frac{R}{2}. \]

Для выпуклого зеркала те же треугольники, только фокус мнимый и лежит за зеркалом: \(f=-R/2\).

Проверка. Размерность — длина. Вне параксиальной зоны равенство ломается (сферическая аберрация): крайние лучи пересекают ось ближе к полюсу. Параболическое зеркало собирает строго все параллельные лучи в фокус — поэтому телескопы-рефлекторы делают параболическими, а не сферическими.

Ответ\(f=R/2\).

Следующая задача 13.1.14 →