Покажите, что если расстояния от предмета и изображения до фокуса вогнутого зеркала равны \(l_1\) и \(l_2\), то \(l_1 l_2=f^2\), где \(f\) — фокусное расстояние зеркала.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Расстояние от полюса до предмета \(d=f+l_1\), до изображения \(d'=f+l_2\). Подставляем в формулу вогнутого зеркала:
\[ \frac1{f+l_1}+\frac1{f+l_2}=\frac1f. \]Приводим к общему знаменателю:
\[ \frac{2f+l_1+l_2}{(f+l_1)(f+l_2)}=\frac1f, \] \[ f\bigl(2f+l_1+l_2\bigr)=(f+l_1)(f+l_2)=f^2+f(l_1+l_2)+l_1 l_2. \]Слева \(2f^2+f(l_1+l_2)\). Вычитаем \(f^2+f(l_1+l_2)\):
\[ f^2=l_1 l_2. \]Это и есть формула Ньютона. Она удобна, когда начала отсчёта ставят в фокусы, а не в полюс: тогда предмет и изображение «перемножаются» в \(f^2\), как стороны прямоугольника фиксированной площади.
Тот же Ньютон получается из формулы зеркала. Пишем \(1/d+1/d'=1/f\) и подставляем \(d=f+l_1\), \(d'=f+l_2\):
\[ \frac1{f+l_1}+\frac1{f+l_2}=\frac1f. \]Приводим к общему знаменателю: \(f(f+l_2)+f(f+l_1)=(f+l_1)(f+l_2)\). Раскрываем и сокращаем \(2f^2+f(l_1+l_2)\) слева с тем же справа — остаётся \(l_1 l_2=f^2\).