Действительное изображение предмета в вогнутом зеркале превышает по своим размерам предмет в три раза. После того как предмет отодвинули от зеркала на 80 см, его изображение стало в два раза меньше предмета. Найдите фокусное расстояние зеркала.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Первое положение: изображение действительное, втрое больше. Увеличение \(\Gamma_1=-3\) (минус — переворот), поэтому \(d_1'=3d_1\). Формула зеркала:
\[ \frac1{d_1}+\frac1{3d_1}=\frac1f\qquad\Longrightarrow\qquad \frac4{3d_1}=\frac1f\qquad\Longrightarrow\qquad d_1=\frac{4f}3,\quad d_1'=4f. \]Предмет стоит между фокусом и центром — там и бывает увеличенное действительное изображение.
Отодвинули на 80 см: \(d_2=d_1+80\). Теперь изображение вдвое меньше предмета и, раз предмет ушёл дальше, снова действительное: \(\Gamma_2=-1/2\), \(d_2'=d_2/2\).
\[ \frac1{d_2}+\frac2{d_2}=\frac1f\qquad\Longrightarrow\qquad \frac3{d_2}=\frac1f\qquad\Longrightarrow\qquad d_2=3f. \]Но \(d_2=d_1+80=4f/3+80\), значит
\[ 3f=\frac{4f}3+80,\qquad 3f-\frac{4f}3=80,\qquad \frac{5f}3=80,\qquad f=48\ \text{см}. \]Проверка положений: \(d_1=64\) см (между \(f=48\) и \(C=96\)), \(d_2=144\) см (за центром). Всё на своих местах.