Постройте изображение пучка стрелок, выходящих из центра кривизны сферического зеркала. Концы стрелок лежат на полуокружности.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Центр кривизны \(C\) — самосопряжённая точка: \(d=R=2f\), \(d'=R\). Более того, любой луч через \(C\) есть нормаль к зеркалу, угол падения нуль, луч идёт обратно по себе. Следовательно, вся прямая, проходящая через \(C\), отображается в себя.
Стрелки выходят из \(C\), их концы лежат на полуокружности. Если эта полуокружность — само зеркало (радиус \(R\)), наконечник лежит на отражающей поверхности. Точка на зеркале тоже самосопряжена: предмет и изображение совпадают. Изображение каждой стрелки — она сама, только «смотрит» в обратную сторону: то, что было наконечником, осталось на сфере, а направление от \(C\) сменило смысл (увеличение в \(C\) равно \(-1\)).
Если полуокружность концов меньше зеркала (стрелки не доходят до поверхности), наконечники лежат на сфере с центром \(C\) и радиусом \(r<R\). Каждая такая точка имеет пару на том же радиусе по другую сторону от \(C\): формула зеркала вдоль этого радиуса даёт точку, симметричную относительно \(C\) в линейном приближении? Строго — нет, только для параксиальных. Но луч из наконечника через \(C\) отражается в себя, а луч вдоль касательной к «пучку» строит вторую точку. В стандартном школьном построении изображения стрелок — такой же пучок, выходящий из \(C\) в противоположную сторону, концы — на симметричной полуокружности.
Итого: пучок отображается в пучок тех же стрелок с общим началом в \(C\), направленный противоположно.