Какой формы должна быть отражающая поверхность, чтобы она собирала все параллельные лучи в одной точке независимо от ширины пучка?
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Потребуем, чтобы все лучи, пришедшие параллельно оси, после отражения попали в точку \(F\) и имели одинаковую оптическую длину (иначе они не сложатся в одну «точку» даже геометрически согласованно — фронт не будет сферическим).
Парабола по определению — множество точек, равноудалённых от фокуса \(F\) и от директрисы (прямой, перпендикулярной оси). Луч, пришедший параллельно оси, можно мыслить как перпендикуляр к директрисе. Путь «директриса \(\to\) точка зеркала \(M\to F\)» один и тот же для всех \(M\). Значит, все такие лучи приходят в \(F\) синфазно. Закон отражения при этом выполняется автоматически: касательная к параболе как раз уравнивает углы падения и отражения (это другое, эквивалентное определение).
Вращая параболу вокруг оси, получаем параболоид. Ось параболоида должна быть параллельна падающему пучку — иначе фокусировки «в точку» нет, получится кома.
Эллипсоид собирает в точку лучи, вышедшие из второго фокуса, а не параллельный пучок. Гиперболоид разводит. Сфера — приближение параболоида вблизи вершины (\(f=R/2\)).