Савченко · Глава 13. Геометрическая оптика. Фотометрия. Квантовая природа света · § 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света

Савченко, задача 13.1.6

↑ задача в главе

Задача 13.1.6зеркало в полный рост

Условие

Высота человека \(h\). Какой минимальной высоты нужно взять ему зеркало, чтобы увидеть своё изображение в полный рост?

К задаче 13.1.6. Верх зеркала — на уровне глаз, низ — посередине между глазами и ступнями.

▶Посмотреть решениеСкрыть решение

Решение

Идея Чтобы увидеть точку, в зеркале должен лежать участок, куда попадает луч «глаз → зеркало → точка». Построение с мнимым изображением сразу даёт: зеркало ровно вполовину роста, и его верх — на уровне глаз.

Изображение человека стоит за зеркалом на том же расстоянии, что и он сам. Глаз смотрит на макушку изображения и на ступни изображения. Эти два луча пересекают плоскость зеркала в двух точках — верхнем и нижнем краях нужного куска зеркала.

Зеркало стоит посередине между человеком и его изображением, поэтому оно отрезает ровно половину каждого луча. Расстояние по вертикали от макушки до ступней есть \(h\), значит по зеркалу укладывается \(h/2\).

Если глаза почти на уровне макушки (школьное приближение задачи), верхний луч горизонтален: верх зеркала — на уровне глаз. Низ зеркала — посередине между глазами и полом, то есть на высоте \(h/2\) над полом. Итого минимальная высота

\[ H=\frac{h}{2}. \]

Ответ не зависит от того, насколько человек отступил от зеркала: при отодвигании оба луча становятся положе, но пересекают плоскость зеркала в тех же точках.

Проверка. Встаньте перед шкафом: чтобы увидеть ботинки, достаточно, чтобы низ зеркала был на середине голени, а не у пола. Если глаза на 10 см ниже макушки, строго говоря нужно \(H=(h-10\ \text{см})/2+5\ \text{см}=h/2\) — те же \(h/2\). Расстояние до зеркала сокращается в подобии и выпадает.

Ответ\(H=h/2\).

Следующая задача 13.1.7 →