При каком минимальном угле падения луча света на стопку плоских прозрачных пластин, показатель преломления каждой из которых в \(k\) раз меньше, чем у вышележащей, луч не пройдёт сквозь стопку? Показатель преломления верхней пластины \(n\), число пластин \(N\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Показатели: \(n_1=n\), \(n_2=n/k\), …, \(n_N=n/k^{N-1}\). Закон Снеллиуса сквозь всю стопку:
\[ \sin\alpha=n_1\sin\gamma_1=n_2\sin\gamma_2=\dots=n_j\sin\gamma_j. \]На границе \(j\to j+1\) полное отражение, если \(n_j\sin\gamma_j\ge n_{j+1}\), то есть \(\sin\alpha\ge n_{j+1}\). Самое маленькое \(n_{j+1}\) — у последней пластины: \(n_N=n/k^{N-1}\). Значит, минимальный угол падения, при котором луч уже не пройдёт,
\[ \sin\alpha=\frac n{k^{N-1}}, \]если только это число не больше единицы. Если \(n/k^{N-1}>1\), даже скользящий луч (\(\sin\alpha=1\)) не набирает условия ПВО — свет проходит стопку при любом угле.
Выход из последней пластины в воздух полного отражения не даёт: инвариант \(\sin\alpha<1\) как раз равен синусу угла выхода.
Инвариант Снеллиуса сквозь стопку: \(\sin\alpha=n_j\sin\gamma_j\) одно и то же на каждой границе. ПВО вспыхивает, едва \(\sin\alpha\) дотянет до показателя следующей пластины. Самая «редкая» — последняя, \(n_N=n/k^{N-1}\), поэтому порог \(\sin\alpha=n/k^{N-1}\). Пример: \(n=1{,}6\), \(k=1{,}2\), \(N=4\): \(\sin\alpha=1{,}6/1{,}2^3=0{,}926\), \(\alpha\approx68^\circ\). При \(N=5\) уже \(1{,}6/1{,}2^4=0{,}772\), \(\alpha\approx50^\circ\). Если \(n/k^{N-1}\gt1\), даже скользящий луч не запирается: стопка слишком короткая по контрасту. Выход в воздух полного отражения не даёт — инвариант \(\sin\alpha\lt1\) как раз равен синусу угла выхода.