Показатель преломления атмосферы планеты уменьшается с высотой \(h\) над её поверхностью по закону \(n=n_0-\alpha h\) при \(h\ll n/\alpha\). Радиус планеты \(R\). Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты луч, испущенный горизонтально, будет обходить планету, оставаясь всё время на этой высоте.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
На высоте \(h\) имеем \(n=n_0-\alpha h\): при подъёме на \(\Delta h\) показатель убывает на \(\alpha\,\Delta h\), то есть \(\Delta n/\Delta h=-\alpha\). Луч, идущий горизонтально (поперёк направления, вдоль которого меняется \(n\)), имеет кривизну
\[ \frac1{\rho}=\frac1n\left|\frac{\Delta n}{\Delta h}\right|=\frac{\alpha}{n}. \]Для круговой орбиты радиуса \(r=R+H\)
\[ \frac1{R+H}=\frac{\alpha}{n_0-\alpha H}. \]Отсюда \(\alpha(R+H)=n_0-\alpha H\), \(\alpha R+2\alpha H=n_0\),
\[ H=\frac12\left(\frac{n_0}{\alpha}-R\right). \]Тот же ответ даёт инвариант сферически-симметричной среды \(n(r)\,r\sin\theta=\mathrm{const}\): круговой луч (\(\theta=90^\circ\)) живёт там, где \(n(r)r\) имеет экстремум, и дифференцирование снова приводит к \(n+\alpha r=0\) в наших обозначениях — то же уравнение.
Кривизна горизонтального луча \(1/\rho=\alpha/n\). Чтобы он навсегда остался на высоте \(H\), нужно \(\rho=R+H\), то есть \(\alpha/(n_0-\alpha H)=1/(R+H)\). Отсюда \(H=\tfrac12(n_0/\alpha-R)\). Земля: \(n_0-1\sim3\cdot10^{-4}\), градиент \(\alpha\sim3\cdot10^{-8}\) м\(^{-1}\), \(n_0/\alpha\sim10^4\) км при \(R=6370\) км — формула даёт \(H\sim1{,}8\cdot10^3\) км, далеко за линейным слоем \(h\ll n/\alpha\). Реальная атмосфера так не умеет: кругового луча нет. Чтобы \(H\) было в километрах у планеты земного размера, нужен \(\alpha\sim n_0/R\sim1{,}6\cdot10^{-7}\) м\(^{-1}\) — впятеро круче земного.