а. Через клин с малым углом \(\alpha\) при вершине проходит луч, перпендикулярный передней грани. Докажите, что угол отклонения луча от первоначального направления приблизительно равен \((n-1)\alpha\). Показатель преломления клина \(n\).
б. Луч падает под малым углом \(\gamma\) к нормали передней грани. Докажите, что угол отклонения по-прежнему \((n-1)\alpha\).
в. Выведите формулу для фокусного расстояния тонкой линзы. Радиусы кривизны поверхностей \(R_1\) и \(R_2\), показатель преломления материала \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
а. На первую грань луч падает по нормали и идёт в клине без излома. На вторую грань он падает под углом \(\alpha\) (грани сходятся под \(\alpha\)). Закон Снеллиуса: \(n\sin\alpha=\sin(\alpha+\delta)\). При малых углах \(n\alpha=\alpha+\delta\), откуда \(\delta=(n-1)\alpha\).
б. Теперь на первую грань падение \(\gamma\ll1\). В клине угол с нормалью первой грани \(\gamma/n\). Угол падения на вторую грань равен \(\alpha-\gamma/n\) (или \(\alpha+\gamma/n\), смотря куда клин). Выход в воздух: \(n(\alpha-\gamma/n)=\alpha+\delta-\gamma\) в линейном приближении, и снова \(\delta=(n-1)\alpha\). Косой вход и косой выход сокращаются: клин «не знает» \(\gamma\).
в. Тонкая линза на высоте \(h\) от оси имеет толщину с клином \(\alpha\approx h/R_1+h/R_2\) (каждая сфера даёт угол \(h/R\)). Луч, параллельный оси, отклоняется на \(\delta=(n-1)\alpha=(n-1)h(1/R_1+1/R_2)\) и пересекает ось на расстоянии \(F\), причём \(\delta=h/F\). Значит
\[ \frac1F=(n-1)\left(\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\right). \]Знаки: \(R>0\), если поверхность выпуклая навстречу лучу.
Клин \(\alpha=2^\circ\approx0{,}035\) рад, стекло \(n=1{,}5\): отклонение \(\delta=(n-1)\alpha=0{,}017\) рад \(\approx1^\circ\) — вдвое слабее самого угла клина. Пункт б обещает то же \(\delta\) при косом входе: линейный Снеллиус на двух гранях сокращает \(\gamma\), остаётся только \((n-1)\alpha\). Линза — набор таких клиньев: на высоте \(h\) угол \(\alpha=h/R_1+h/R_2\), и \(\delta=h/F\) сажает \(1/F=(n-1)(1/R_1+1/R_2)\). Плоско-выпуклая \(R_2=\infty\), \(F=R/(n-1)\): при \(R=10\) см и \(n=1{,}5\) имеем \(F=20\) см. Предел \(n\to1\) или \(R\to\infty\) гасит силу — линза исчезает.