Из стекла с показателем преломления \(1{,}61\) изготовили двояковыпуклую линзу с одинаковым радиусом кривизны обеих поверхностей. Оптическая сила линзы в воде \(1{,}6\) дптр. Найдите радиус кривизны поверхностей линзы.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Вода \(n_0=1{,}33\). Фокусное расстояние в воде (расстояние, на котором параллельный пучок в воде соберётся) даётся
\[ \frac1{f}=\left(\frac{n}{n_0}-1\right)\left(\frac1R+\frac1R\right)=\left(\frac{1{,}61}{1{,}33}-1\right)\frac2R. \] \[ \frac{1{,}61}{1{,}33}-1\approx0{,}211,\qquad \frac1f=\frac{0{,}422}{R}. \]По условию \(1/f=1{,}6\) м−1:
\[ R=\frac{0{,}422}{1{,}6}=0{,}26\ \text{м}. \]Общая формула линзы в среде \(n_0\): \(1/f=(n/n_0-1)(1/R_1+1/R_2)\). Подставляем \(n=1{,}61\), \(n_0=4/3\approx1{,}33\), \(R_1=R_2=R\):
\[ \frac{n}{n_0}-1=\frac{1{,}61}{1{,}33}-1=\frac{0{,}28}{1{,}33}=0{,}2105,\qquad \frac1f=0{,}421/R=1{,}6\ \text{м}^{-1}. \]\(R=0{,}421/1{,}6=0{,}263\approx0{,}26\) м. В воздухе та же линза была бы в \((n-1)/(n/n_0-1)\approx2{,}9\) раза сильнее.
В воде работает не \(n-1=0{,}61\), а \(n/n_0-1=1{,}61/1{,}33-1\approx0{,}211\). Две одинаковые сферы дают \(1/f=0{,}211\cdot2/R=0{,}422/R\). При \(D=1{,}6\) дптр имеем \(R=0{,}422/1{,}6=0{,}264\) м. В воздухе та же линза собрала бы \(D=0{,}61\cdot2/0{,}26\approx4{,}7\) дптр — почти втрое сильнее, как отношение \(0{,}61/0{,}21\). Если вместо воды взять масло \(n_0=1{,}50\), относительный показатель упадёт до \(0{,}073\), и \(R\) при той же силе \(1{,}6\) дптр сжался бы до \(\approx9\) см: линза должна быть круче, чтобы компенсировать почти исчезнувший контраст.