Линзу с фокусным расстоянием \(f\) и радиусами кривизны \(r\) встроили в стенку аквариума. Показатель преломления воды \(n\). Определите, на каком расстоянии от линзы сфокусируется параллельный пучок света: а) входящий в аквариум; б) выходящий из аквариума.
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
В воздухе \(\dfrac1f=(n_\text{ст}-1)\dfrac2r\), откуда \(2(n_\text{ст}-1)=r/f\).
а. Пучок из воздуха в воду. Сила первой поверхности (воздух–стекло) \(D_1=(n_\text{ст}-1)/r\), второй (стекло–вода) \(D_2=(n-n_\text{ст})/(-r)=(n_\text{ст}-n)/r\). Суммарная вергенция в воде
\[ \frac n x=D_1+D_2=\frac{2n_\text{ст}-1-n}r=\frac1f-\frac{n-1}r, \]подождав: \(2n_\text{ст}-1-n=r/f+2-1-n=r/f-(n-1)\), и \(n/x=(2n_\text{ст}-1-n)/r\), так что
\[ \frac1x=\frac1{nf}-\frac{n-1}{nr}. \]б. Пучок из воды в воздух. Теперь \(D_1=(n_\text{ст}-n)/r\), \(D_2=(1-n_\text{ст})/(-r)=(n_\text{ст}-1)/r\), изображение в воздухе:
\[ \frac1x=D_1+D_2=\frac{2n_\text{ст}-n-1}r=\frac1f-\frac{n-1}r. \]Две среды по разные стороны ломают симметрию \(d\leftrightarrow d'\). Из воздуха в воду вергенция после линзы делится на \(n\): \(n/x=1/f-(n-1)/r\), откуда \(1/x=1/(nf)-(n-1)/(nr)\). Из воды в воздух делить не на что, \(1/x=1/f-(n-1)/r\). Числа: школьная \(f=10\) см, \(r=15\) см, вода \(n=4/3\). «В аквариум» \(1/x=1/13{,}3-0{,}33/20\), \(x\approx17\) см. «Из аквариума» \(1/x=1/10-0{,}33/15\), \(x\approx13\) см. Пустой аквариум (\(n=1\)) оба сажает в \(x=f\). Если правая часть отрицательна, пучок после линзы расходится: формальный фокус мнимый.