Определите фокусное расстояние участка стеклянной тонкостенной сферы радиуса \(R\) и толщины \(\delta\). Показатель преломления стекла \(n\).
▶Посмотреть решениеСкрыть решение
Свет идёт снаружи. Первая поверхность: \(R_1=R+\delta\), сила \(D_1=(n-1)/(R+\delta)\). Вторая (стекло–воздух, центр кривизны по-прежнему справа, \(R_2=+R\)): \(D_2=(1-n)/R=-(n-1)/R\).
\[ \frac1f=D_1+D_2=(n-1)\left(\frac1{R+\delta}-\frac1R\right)=-(n-1)\frac{\delta}{R(R+\delta)}\approx-(n-1)\frac{\delta}{R^2}. \] \[ f=-\frac{R^2}{(n-1)\delta}. \]Знак минус: стенка рассеивает. Параллельный пучок после колбы станет расходящимся, как от мнимого фокуса перед ней.
Тонкая стенка сферы — две близкие поверхности радиуса \(R\) толщины \(\delta\ll R\). В нулевом порядке по \(\delta\) сила нулевая (плоскопараллельный слой). Первый порядок даёт рассеивающую «воздушную» линзу \(f=-R^2/[(n-1)\delta]\) — как мыльный пузырь.
Мениск: \(R_1=R+\delta\), \(R_2=R\), силы почти уничтожаются, остаток \(1/f=-(n-1)\delta/(R(R+\delta))\approx-(n-1)\delta/R^2\). Колба \(R=8\) см, стенка \(\delta=1{,}5\) мм, стекло \(n=1{,}5\): \(|f|=0{,}08^2/(0{,}5\cdot0{,}0015)\approx8{,}5\) м — слабая рассеивающая, через неё мир чуть уменьшен. Мыльный пузырь \(n\approx1{,}33\), \(R=3\) см, \(\delta=1\) мкм: \(|f|=0{,}03^2/(0{,}33\cdot10^{-6})\approx2{,}7\) км, практически плоское окно. Предел \(\delta\to0\) или \(n\to1\) гонит \(f\to-\infty\). Знак минус обязателен: вторая поверхность вогнутая навстречу выходу, сила отрицательная.